Tema8

Tema 8. Ondas progresivas
1. Solución general de la ecuación de ondas
• La solución general puede escribirse como la suma de dos funciones
arbitrarias
y (x , t ) = f1 ( x + Vt ) + f 2 ( x − Vt )
La primera función representa una onda progresiva que se propaga con velocidad V
hacia la izquierda, y la segunda función representa otra onda progresiva que se
propaga hacia la derecha con la mismavelocidad. En general, la velocidad de
propagación de una onda es la velocidad a la que varía la fase de la onda. Con esto,
para determinarla basta la condición
d
( x ± Vt ) = 0
dt
y obtenemos las velocidades
dx
= −V
para la onda con fase ( x + Vt )
dt
dx
=V
para la onda con fase ( x − Vt )
dt
• Así, la primera fase se propaga hacia la izquierda y la segunda fase hacia la
derecha. La naturaleza delas funciones f1 , f 2 es arbitraria. Pueden ser funciones
sinusoidales o pueden describir pulsos de ondas. De hecho, las dos funciones
siempre pueden escogerse de forma que su suma represente cualquier estado inicial
de desplazamiento y ( x ,0 ) y velocidad y& ( x ,0 ) , siendo y& ( x, t ) la velocidad de
oscilación vertical del punto del medio material que soporta la onda situado en la
coordenadax.

2. Soluciones armónicas simples
• La solución más general es de la forma
y (x , t ) = A sen ( kx − ω t ) + B cos ( kx − ω t )

+ C sen ( kx + ω t ) + D cos ( kx + ω t )
para una oscilación de frecuencia ω en el tiempo y de frecuencia k en el espacio.
Los períodos de oscilación están dados por
2π
T=
ω
2π
λ=
k
El primero corresponde a la oscilación vista en el tiempo t, y el segundo, lalongitud
de onda, corresponde a la oscilación vista en el espacio x.

• La relación entre la frecuencia de oscilación temporal y la frecuencia de
oscilación espacial se llama relación de dispersión

ω = ω (k )

En el caso de la cuerda vibrante, la relación de dispersión es

ω = Vk
V=

T
ρ

La relación de dispersión determina la dispersión de la energía entre los distintos
modos de vibración, definidospor el vector de onda k. Si la relación de dispersión es
lineal en k, como ocurre en la cuerda tensa, todos los modos se propagan con la
misma velocidad, y la energía mecánica de la onda se propaga de forma homogénea.
Se trata de un medio no dispersivo. Si la relación no es lineal, la velocidad de
distintos modos es diferente y la energía no se propaga homogéneamente, sino que
se divide enpaquetes de energía cada uno propagándose con la velocidad del modo
de vibración asociado. La energía se ha visto dispersada y el medio se llama
dispersivo.

3. Velocidad de fase, dispersión
• Nos limitamos al caso de ondas progresivas de tipo armónico, con una
frecuencia angular bien definida. La velocidad de fase V = ω k es la velocidad a la
que se propaga la fase de la onda, el contorno de la onda.Sólo puede hablarse de
esta velocidad cuando la función de onda tenga la misma forma a lo largo de toda su
longitud. Si la onda cambia de forma en función del tiempo o de la distancia a lo
largo de su dirección de propagación, la medida de la velocidad de fase no daría
siempre el mismo resultado. Cuando V = V (k ) en un medio dado, se dice que el
medio es dispersivo y que la onda presentadispersión.

4. Propagación de un grupo de ondas,
velocidad de grupo
• Nuestro objetivo ahora es averiguar si existe alguna definición de velocidad
de propagación de ondas que sea útil cuando no se cumplan las condiciones que nos
permiten definir la velocidad de fase de forma unívoca.

a) Superposición de dos ondas armónicas

• Estudiamos por simplicidad la propagación de dos ondas armónicas en lamisma dirección con la misma amplitud pero con frecuencias angulares y vectores
de onda ligeramente diferentes. Las conclusiones que se pueden obtener de este
modelo simple son aplicables a la propagación de cualquier grupo de ondas.
La onda que se propaga en nuestro medio es la superposición de dos ondas
armónicas
y (x , t ) = A cos ( kx − ωt ) + A cos ( ( k + dk ) x − (ω + dω ) t )

donde los...