Temario limites y continuidad

Introducción Unidad III Límites y Continuidad.

Imagínate que sufres una pesadilla (por tanto estudiar matemática) en la que te encuentras cerca de una puerta. Decides abrirla, así que te acercas. Te das cuenta que estas cada vez más cerca, pero no alcanzas a tocar el picaporte. Corres tratando de llegar, mas, siempre hay espacio entre tu mano y ese picaporte, no importa cuánto lo intentes. Esa "pesadilla" tiene nombre matemático "límite".
El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito.
Desde el punto de vista del conjunto de los números reales, que es denso (infinito e infinitésimo), podemos encontrar entre dos números consecutivos infinitos números: tomemos dos números, por ejemplo, 4 y5, busquemos un número real entre ellos, podemos tomar 412 que está entre 4 y 5, ahora un número que este entre 4 y 412, por ejemplo 4.1, nuevamente busquemos un número entre 4 y 4.1, tal vez 4.01, y así sucesivamente ppodemos seguir así eternamente. Siempre nos podremos acercar al número "4" todo lo que queramos sin llegar a él. Justamente "4" es el límite que no podemos tocar.

3.1Límite de una sucesión.

3.2 Límite de una función de variable real.

Definición de límite
Si es el área de un polígono regular inscrito con n lados, entonces se puede observar que cuando n aumenta , se aproxima cada vez más al área del círculo. Se dice que área A del círculo es el límite de las áreas y se escribe:

Definición del límite de una función:
Se escribe: ,se lee “ellímite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L”
Si es posible hacer que los valores de fx se aproximen de manera arbitraria a L (tan cerca de L como se quiera) al tomar x suficientemente próxima a a , pero no igual a a.

3.3 Cálculo de límites.

3.4 Propiedades de los límites.
Se usan las siguientes propiedades de límites, llamadas leyes de límites, para calcular los límites:Suponga que c es una constante y que los siguientes límites existen:
limx→af(x) y limx→ag(x) , entonces:
El límite de una suma es la suma de los límites
limx→a[f(x)+gx]=limx→af(x)+limx→ag(x)
El límite de una diferencia es la diferencia de los límites
limx→a[f(x)-gx]=limx→af(x)-limx→ag(x)
El límite de una constante por una función es la constante multiplicada por el límite de la función.limx→acf(x)=climx→af(x)
El límite de un producto es el producto de los límites
limx→a[f(x)gx]=limx→af(x)*limx→ag(x)
El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el límite del denominador no sea 0)
limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x) si limx→ag(x)≠0
limx→af(x)n= limx→af(x)n donde n es un entero positivo
limx→anf(x)= nlimx→af(x) donde n es un entero positivo

3.5Límites laterales.

1.

x<1 | | x>1 | |
0.5 | | 1.5 | |
0.9 | | 1.1 | |
0.99 | | 1.01 | |
0.999 | | 1.001 | |
0.9999 | | 1.0001 | |
En base a los valores encontrados en la tabla, se dice que:

Sea una función definida parte por parte.

Como nos acercamos desde valores mayores a 3, se dice que nos "acercamos por la derecha". 
3                              
Si nos acercáramos con valores más pequeños, nos "acercaríamos por la izquierda". 
3
                                                   
x | |
2.9 | |
2.99 | |
2.999 | |
2.9999 | |
| Por izquierda Por derecha  | x | |
 3.1 | |
 3.01 | |
 3.001 | |
 3.0001 | |
|

En base a los valores encontrados en la tabla, se dice que:

Límites que no existenNo siempre los límites laterales (izquierda y derecha) son iguales. Analicemos las siguientes funciones.
a) Una función con un salto

En base a los valores encontrados en la tabla, se dice que:

b) Una función que oscila limx→0Senπx

Las líneas discontinuas indican que los valores de Senπx oscilan entre 1 y -1...