Temario selectividad matematicas, fisica y quimica

Hoja de Problemas nº1 – Algebra 1

1. Hallar un número cuadrado perfecto de cinco cifras sabiendo que el producto de esas cinco cifras es 1568. Solución: Sea sea n2 = x1 · 104 + x2 · 103 + x3 · 102 + x4 · 10 + x5 n = a · 102 + b · 10 + c Entonces debe ocurrir que: x1 · 104 + x2 · 103 + x3 · 102 + x4 · 10 + x5 = = a2 · 104 + 2ab103 + (b2 + 2ac) · 102 + 2bc10 + c2 Por otro lado sabemos que 1568 =72 · 25 , entonces se tiene que n2 debe estar formado por las siguientes posibles cifras: 1) 7, 7, 8, 4, 1 2) 7, 7, 8, 2, 2 3) 7, 7, 4, 4, 2 La opción 2) no es posible porque un cuadrado no puede tener nunca como cifra de las unidades un 7, un 8 o un 2. Por otro lado la opción 3) tampoco puede ser, pues la suma de sus cifras es 24, que es dursible por 3, pero no por 9, por lo tanto no puedenformar un cuadrado perfecto. Por lo tanto las cifras de n2 deben ser 7, 7, 8, 4, 1 y bajo estas condiciones se tiene que x5 debe ser 1 o 4 y x4 debe ser par. Entonces se tiene que los posibles valores de n2 son: 17784 71784 77184 77841 78741 87741 74781 77481 47781 el número que buscamos y

la raíz cuadrada del número que buscamos.

Pero de todos ellos el único que es un cuadrado perfecto es:77841 = (279)2 Entonces: N2 = 77841

2. Encontrar un número “abcd” de 4 cifras en base 12, tal que es cuadrado perfecto y además los números “ab” y “cd” son consecuentes en base 12. Solución: Como bien nos dice el problema, se tiene que ab + 1 = cd,

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y por otro lado1000012) ≤ abcd < 10000012) ⇒ Pasando la desigualdad a base 10, se tiene que 1728 ≤ n2 < 20738

donde denotamos por n2 elnúmero abcd pero en base 10. Entonces tenemos que 42 ≤ n < 144 Por otro lado tenemos que abab = abcd – 1 ⇒

⇒ a · 123 + b · 122 + a · 12 + b = 145(12ª + b) = n2 – 1 ⇒ ⇒ 29 · 5 · (12ª + b) = (n – 1)(n + 1). Por lo tanto (n – 1) o (n + 1) deben ser múltiplos de 29 y como 42 ≤ n < 144, entonces: • Si n – 1 es múltiplo de 29, y como (n – 1)(n + 1) debe ser múltiplo de 5 entonces n = 59 ⇒ n2 = 3481 =202112) que verifica las condiciones. • Si n + 1 es múltiplo de 29 y como (n – 1)(n + 1) debe ser múltiplo de 5 entonces n = 86 ⇒ n2 = 7396 = 434412) que verifica las condiciones del problema. Por lo tanto hay dos soluciones posibles para este problema: n1 = 202112) y n2 = 434412)

3. En un sistema de numeración cuya base se desconoce, dos números se escriben 302 y 402. El producto de ambosnúmeros es 75583 en el sistema de numeración de base 9. Hallar la base desconocida.

Solución: Tenemos que: 302n) · 402n) = 755839) Entonces pasándolo a base diez se tiene que: (3 · n2 + 2)(4 · n2 + 2) = 7 · 94 + 5 · 93 + 5 · 92 + 8 · 9 + 3 ⇒ ⇒ (3n2 + 2)(4n2 + 2) = 50052 ⇒ ⇒12n4 + 6n2 + 8n2 + 4 = 50052 ⇒ 12n4 + 14n2 – 50048 = 0 ⇒ ⇒ 6n4 + 7n2 – 25024 = 0, haciendo n2 = m tenemos:

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6m2 + 7m –25024 = 0 ⇒ m = 64 = − 7 ± 775 = 12

− 7 ± 49 + 600576 = 12

-65´1 6

)

lo rechazamos

⇒ n2 = 64 ⇒ n1 = 8 o n2 = -8 que lo rechazamos ⇒ la soluciónes n1 = 8 4. Demuestre que para todo número natural n, n ≥ 1, se tiene: 1 2 n ( −1) m +1 ∑ =∑ m k =n +1 k m =1
2n

Solución:
2n  1 2 n (−1) m +1  Sea Α = n ∈ ΙΝ / ∑ = ∑  m  k = n +1 k m =1 

ι) ¿1∈Α?

∑k = 2
1 1 ⇒ 1∈Α
m +1 k=22

∑

( −1) m m =1
2

=

(−1) ( −1) 1 1 + =1 − = 1 2 2 2
2 3

ιι) Supongamos cierto que n∈Α, es decir:
2 n +2

1 2 n ( −1) m +1 ∑ =∑ m . k =n +1 k m =1
2n

Veamos si (n + 1)∈Α, ¿

1 2 n +2 (−1) m +1 ∑ = ∑1 m ? k =n + 2 k m=

2 n +2 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + ∑ = ∑ − ∑2 k n + 1 n + 1 k =n+ 2 k k =n+1 k n + 1 + 2n + 1 + 2 n + 2 = k =n +

2 n +2

=∑ =

(−1) m m =1
2nm +1

1 2n 1 1 ( −1) m +1 (−1) 2 n + 2 ( −1) 2 n +3 2 = + − + + + = ∑ 2 n + 1 n + 1 n + 1 m =1 m 2n +1 2n + 2

2 n +2

(−1) m +1 ∑ m ⇒ (n + 1)∈Α m =1 ⇒

Α = ΙΝ 3/7

5. Hallar un número de cinco cifras diferentes que sea igual a la suma de todos los de tres cifras que se pueden obtener formando todas las variaciones ordinarias de dichas cinco cifras tomadas de tres en tres. Solución:...