Temas digitales

SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES POR ALGEBRA DE BOOLE. TABLA DE LA VERDAD. FORMAS CANÓNICAS.

Gracias a los postulados y teoremas vistos en el tema anterior podemos “simplificar” cualquier función Booleana. Entiéndase por simplificar a que podemos reducir a la misma a otra función que use menos compuertas o incluso menos variables que la original y aún así obtener los mismos resultados. La utilidadde ésto es evidente ya que a la hora de implementar nuestro diseño digital, haremos uso de menos componentes reduciendo así el tamaño del circuito y facilitando también dicha implementación.
Existen varias formas para reducir una función lógica y algunas de ellas serán vistas en los próximos temas pero en éste en particular, haremos las reducciones basándonos sólo en reglas del álgebra de Boole,o sea, manipulaciones algebraicas. Para este tipo de simplificación, no existen reglas preestablecidas. La mejor forma de simplificar una función de Boole por manipulación algebraica es por medio del tanteo por lo que el mejor amigo en este tipo de procedimiento es la práctica.
Veamos a continuación ejemplos de simplificaciones de funciones de Boole.
A + A'B
Sabemos, por ley distributiva, queésto es igual a: (A + A')(A + B)
como A + A' = 1, entonces:
A + A'B = A + B
Queda claro que la reducción es importante ya que la primera usa una compuerta OR, una NOT y una AND, mientras que la segunda sólo usa una OR. Excelente. Ahora, haciendo uso de la tabla de la verdad que vimos en el tema anterior, veamos si ambas funciones obtienen el mismo resultado:
A | B | A + A'B | A + B |
0 | 0 |0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
En efecto, amblas tablas de la verdad muestran el mismo resultado. Veamos más ejemplos.
A(A' + B)
Por ley distributiva, ésto es igual a AA' + AB y como por por el postulado 2, AA' = 0, entonces:
A(A' + B) = AB
COMENTARIO: Debido al principio dualidad que manifiesta el álgebra de Boole, esa conclusión era de esperarse. Este ejemploes, por dualidad, la contraparte del primero.
Veamos las tablas de la verdad:
A | B | A(A' + B) | A B |
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
Correcto.
ATENCIÓN: Estos ejemplos son bastante sencillos. Este tipo de reducción no es tan fácil para funciones más complejas. Por eso comenté que la mejor forma de entender este método es "practicando". Acontinuación, más ejemplos:
Simplificar:
1. (x + y)(x + y')
2. xyz + x'y + xyz'
3. (x + y)'(x' + y')'
4. B(DC' + DC) + AB
Respuestas:
Para el número 1:
(x + y)(x + y') por distributiva = xx + xy' + yx + yy'
Por conmutativa: yx = xy. Por términos complementarios yy' = 0, por lo tanto:
= xx + xy + xy' = por distributiva x(x + y + y') = por asociativa x(x + (y + y')), pero como y + y' = 1,entonces
= x(x + 1) = x (1) = x
Respuesta: (x + y)(x + y') = x
Este ejemplo es interesante ya que vemos que la función no sólo redujo los componentes (y de hecho los redujo de dos OR, una AND y un NOT a “cero” componentes) sino que también redujo el número de variables requeridas. Aquí se concluye que la variable 'y' no tiene efecto en el resultado lógico de la función. Veamos la tabla de laverdad de la función de Boole original:
X | Y | (X+Y)(X+Y') |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Se ve que la función tiene el mismo valor que 'x'.
Para la 2:
xyz + x'y + xyz' por distributiva = xy(z +z') + x'y = xy(1) +x'y = y(x + x') = y
Se observa que se reducen el uso de tres variables, 5 AND, 2 OR y 2 NOT a una línea directa desde una variable (sin compuertas). Veamosla tabla de la verdad de la función y veamos si coincide con la variable y
X | Y | Z | XYZ+X'Y+XYZ' |
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
PERFECTO!!!
El tercer caso:
(x + y)'(x' + y')' = (x'y')(xy) = xx'yy' = 0
¿Qué tal? Se usó distributivo, teorema de Morgan, asociativo y ley de...