Temas Importantes

0.2.

Uni´n, intersecci´n y diferencia de cono o juntos

Si A y B son conjuntos entonces la uni´n de A y B, que denotamos o A ∪ B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A opertenecen a B. Es decir A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.

Si A y B son conjuntos entonces la intersecci´n de A y B, que denotao mos A ∩ B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A ysimult´neamente pertenecen a a B. Es decir A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.

Si A ∩ B = ∅ decimos que A y B son disyuntos. De las definiciones se concluye que A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B, A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B.Adem´s se satisfacen las siguientes propiedades: a

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1. A ∪ A = A y A ∩ A = A para cada conjunto A. 2. A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅ para cada conjunto A. 3. A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A para todoconjunto A y todo conjunto B. 4. A ∪ B = A si y s´lo si B ⊂ A. o 5. A ∩ B = A si y s´lo si A ⊂ B. o 6. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C para A, B y C conjuntos arbitrarios. 7. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C para A, By C conjuntos arbitrarios. 8. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) para A, B y C conjuntos arbitrarios. 9. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) para A, B y C conjuntos arbitrarios. La siguiente operaci´n quemencionaremos es la diferencia de conjuntos. o

Si A y B son conjuntos entonces la diferencia A \ B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Es decir A \ B = {x∈ A : x ∈ B}. /

Si estamos trabajando con subconjuntos de un conjunto fijo X y A ⊂ X nos referiremos a X \ A como el complemento de A en X y lo denotaremos tambi´n con Ac o con A. e Las siguientespropiedades se conocen con el nombre de Leyes de De Morgan y resultan de gran utilidad en el trabajo con conjuntos.

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1. Si A y B son subconjuntos de X entonces (A ∪ B)c = Ac ∩ B c . 2. Si A yB son subconjuntos de X entonces (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .

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Ejercicios
1. Demuestre con todo detalle cada una de las siguientes afirmaciones: a) A ∪ A = A y A ∩ A = A para cada conjunto A. b) A...