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6. SECCIONES CÓNICAS



Una sección cónica, es la curva de intersección de un plano con un cono circular recto. Existen tres tipos de curvas que se obtienen de esta manera: La parábola, la elipse incluyendo la circunferencia como un caso especial) y la hipérbola. (Ver fig. 6.1.)  
  

 
fig. 6.1.
..
6.1 LA PARABÓLA

Definiciones 
i.    Sea DD una recta dada del plano y F un puntodel plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a larecta DD.  
ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F.   
Esto es:  
PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF =1} 
                                PD
  
 

fig. 6.1.1.


Observaciones: 
 i. Al trazar por F la perpendicular  a la directriz. Se llamará : la distancia del foco a la directriz. 
ii. Sea V el punto medio del segmento  . Como , entonces el punto V pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola. 
El lugar correspondiente a la parábola es simétrico respecto a la recta . Enefecto, si P’ es el simétrico de P respecto a la recta , entonces PP’’ = P’’P’. Por lo tanto, el triángulo PP’’F es congruente al triángulo P’P’’F. De donde P’F = PF y como P’D’ = PD, entonces, , lo cual nos muestra que P’ e PDD-F.  
  
 
6.1.1. Ecuaciones Analíticas de la Parábola  
En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focosestarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)  


fig. 6.1.2.
Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces, .   
Pero,  y  
Luego,  
Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene: , y simplificando queda finalmente,  
(1) 
Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) ypruebe que P e PDD-F.  
Por hipótesis,  (2)  
Se debe probar que  
  
 
 
  
 
De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.   
 
TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)  
i.  La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamene si un punto P del plano, satisface (3) entoncesP  PDD-F  
ii.  La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4) 
iii. Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P  PDD-F 
 


fig. 6.1.3.
  
 


fig. 6.1.4.
  
 
Observaciones: 
i. En la  fig.  6.1.3. aparecen  las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba  (en el caso de p>0) yhacia abajo (p 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2. Además todos sus puntos son simétricos con respecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, poseen únicamente a la variable y elevada a su potencia par.   
 
6.1.2. Traslación de Ejes 
En el ejemplo 5 de la sección 5.6., sedeterminó que la ecuación de la circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era:  
 ó  
Sin embargo, si se encuentra la ecuación con centro en C(0, 0) y radio 5. Se obtiene.  
De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuación sin cambiar la forma de la gráfica (fig. 6.1.5.).   
  
 


fig. 6.1.5.
Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejes coordenados paralelosa los  ejes x e y, se dice entonces que ha habido una "TRASLACIÓN DE EJES". Al fin de analizar los cambios  que  se presenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir un nuevo sistema de coorde- nadas x’ e y’ paralelo a los ejes x e y, se toma un  punto fijo  o’(h, k) que  se llama: ORIGEN del nuevo sistema.  
Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas están...