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NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales son los que se pueden representar por medio de fracciones. Representan partes de algo que se ha dividido en partes iguales. Por ejemplo, si cortamos una naranja en 4 trozos iguales y tomamos tres trozos de esta, nos hemos comido 3/4 de la naranja.
Un número racional es también, todo número  que puede representarse como el cociente  de dos enteros condenominador distinto de cero (una fracción común).
Son ejemplos de números racionales:
, ,
También son números racionales los números enteros:


entre otros.
Un mismo número racional se puede expresar con varias fracciones. Por ejemplo:

se puede expresar como:


De todas estas formas, la primera se llama fracción irreducible y las demás fracciones equivalentes.
Los númerosracionales son infinitos. Aunque parezca increíble podemos asociar un número natural a cada número racional. Muchas veces los números racionales se expresan como números decimales. Por ejemplo:


Se pueden clasificar en dos grupos: Limitados y periódicos. Estos últimos se pueden clasificar a su vez, en periódicos puros y periódicos mixtos.
Limitados: son los que en su representación decimal tienen unnúmero fijo de números. Por ejemplo:

Periódicos : son los que en su representación decimal tienen un número ilimitado de números. Hay dos tipos de números periódicos:
Los puros: cuando un número, o grupo de números, se repite ilimitadamente, desde el primer decimal. (Por ejemplo: 3.838383...).
 
Los mixtos: un número o grupo de números se repite ilimitadamente a partir del segundo oposterior decimal (por ejemplo 3.27838383...).
NÚMEROS IRRACIONALES
En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde y son enteros, con diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Es cualquier número real que no es racional.
NOTACIÓN
No existe una notación universal para indicarlos, como , que es generalmente aceptada. Las razones sonque el conjunto de Números Irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los Naturales (), los Enteros (), los Racionales (), los Reales () y los Complejos (), por un lado, y que la es tan apropiada para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión.
Fuera de ello, , es la denotación delconjunto por definición.
CLASIFICACIÓN
Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales.Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódicocita requerida. En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales alnúmero irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas.
Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacenreferencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.
Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:
1. (Número "pi" 3,14159 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
2. e (Número "e" 2,7182 ...):
3. (Número "áureo" 1,6180 ...):
Los números...