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Ecuaciones diferenciales homogéneas
Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemploanterior.
Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.
 
 
 Definición  [Funciones homogéneas]
 
Una función  se dice homogénea degrado  si



Para todo  y todo.
 
Ejemplo
1. La función  es homogénea de grado.
2. Las funciones, ,  son homogéneas de grado 0.
3. Las funciones , , son homogéneas de grado 2.
Ahoradefinimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.
 
 
 Definición [Ecuación diferencial homogénea]
 
 Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, , es homogénea si la función  es homogéneade orden cero.
 
Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma




sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes  y  son funciones homogéneos del mismo grado.
 
 
 Teorema 
Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden

es homogénea, entonces el cambio de variable  la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.
 
 
Demostración:
Al hacerla sustitución obtenemos




Pero como  es una función homogénea de grado cero tenemos que




de donde




la cual es separable, como se quería.
 
Ejemplo
 
Resuelva la ecuacióndiferencial




La ecuación diferencial es homogénea pues  y son homogéneas de grado dos




Haciendo la sustitución




de donde




Integrando y volviendo a lasvariables  y  obtenemos




Note que  es una solución singular de la ecuación diferencial dada.
 
Observación: Cuando la ecuación diferencial homogénea está escrita en la forma




conviene más rescribirla en laforma




y aplicar quí el cambio de variable .
Ejemplo

Resuelva la ecuación diferencial




Factorizando 




Haciendo la sustitución 




Integrando




Y...