Temas Variados

Definición

Se llama potencia a una expresión de la forma , donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.
[editar]Exponente entero
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando, siendo a un número cualesquiera:
(1)
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales ocomplejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.
[editar]Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:
[Mostrar]
Ejemplos:

[editar]Potencia de una potencia
La potencia deuna potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
[Mostrar]
Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede escribir sencillamente como .
[editar]Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado almismo exponente, es decir:
[Mostrar]
Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:
[Mostrar] si n es par.
si n es impar.
Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que , entonces este se denota por y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:
(2)
Observación

[editar]División de potencias deigual base
El cociente de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente el resultado de restar el exponente del divisor al del dividendo, es decir:
[Mostrar]
Ejemplo:

[editar]Potencia de exponente 0
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:1 2

El caso particular de , en principio, noestá definido (ver cero).
[editar]Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.
[Mostrar]
Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo , por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:


[editar]Exponente racionalArtículo principal: Radicación.
La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo , de manera que , pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y esto sólo se puede garantizar para toda n si la base a es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:
Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésimapositiva.
Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:
(3)
Observación

En general para las fracciones se define que:
(4)
Relación
[Mostrar]
[editar]Propiedades



[editar]Exponente real
Artículo principal: Exponenciación.
La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoje en el siguiente teorema:
Dado un número realpositivo a y una sucesión de números racionales que tiene límite b, entonces existe el límite de la sucesión que se escribe como:

Nótese que las sucesivas aproximaciones de ab tienen como exponente números racionales, con lo que para que la definición sea consistente, se exige que a sea un número real positivo.
Análogamente, se puede extender la potenciación a funciones, usando la funciónexponencial, y su inversa, la función logaritmo natural, en un proceso que se denomina exponenciación. Así, se define
.
De igual manera, esta es totalmente consistente si el conjunto imagen de f(x) es el conjunto de los números reales positivos R+, o algún subconjunto de este, siendo los valores de la función exponente g(x) números reales cualesquiera, debido a que el logaritmo natural no está...