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¿Cómo reconocer qué Caso de Factoreo se puede aplicar en un polinomio?

Cuando aprendemos cada Caso, debemos observar muy bien y tratar de recordar la "forma" que tienen los ejercicios de cada Caso. Eso nos dará la clave para luego, cuando tengamos que enfrentar un ejercicio sin saber de qué Caso es, reconocer el o los posibles Casos que pueden aplicarse. Casi siempre, debido a la "forma" delpolinomio, sólo habrá una o dos posibilidades de Casos a elegir. Lo cuál hace que, con un poco de práctica, el reconocimiento sea casi instantáneo.
El número de términos de un polinomio es la característica principal que nos servirá de clave para determinar cuál Caso le es aplicable:

1) FACTOR COMÚN: El polinomio puede tener cualquier número de términos. Es decir que, en cualquier polinomioque veamos podría haber Factor Común. Parecería que este dato no sirve de mucho, pero pensemos que si aprendimos bien el Caso, no debe ser dificultoso reconocer que haya factor común en un polinomio: Tiene que haber una letra que figure en todos los términos, y/o los números de todos los términos deben ser múltiplos de algún número.

2) FACTOR COMÚN EN GRUPOS: Tiene que tener un número par detérminos (4, 6 u 8 términos). Recordemos que en este Caso hay que tomar grupos de igual número de términos, y eso sólo puede hacerse con los números pares.

3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Tiene que tener 3 términos. Luego, debe haber dos términos que sean "cuadrados" (¿qué es un cuadrado?): Si son letras, deben ser potencias pares; si son números, deben tener raíz cuadrada exacta- Ejemplo: a6x2 +6a3x + 9

4) CUATRINOMIO CUBO PERFECTO: Tiene que tener 4 términos. Luego, debe haber dos términos que sean "cubos" (potencias terceras): Si son letras, deben ser potencias múltiplo de 3 (3, 6, 9, 12, etc.); si son números deben tener raíz cúbica exacta.
Ejemplo: a6x3 - 6a4x2 + 12a2x - 8

5) DIFERENCIA DE CUADRADOS: Tiene que tener 2 términos. Luego, debe ser una resta (diferencia), y de dos"cuadrados" (letras con exponente par, números con raíz cuadrada exacta). Ejemplo: x4y6 - 25a2

6) SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO ("Ruffini"): Tiene que tener 2 términos. Luego, deben ser dos potencias del mismo exponente: si hay un número, debe ser potencia de igual exponente que la letra. Ejemplo: x3 - 8, donde 8 es igual a 23.

7) TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO ("Cuadrática"): Tiene quetener 3 términos. Luego, debe tener un sólo tipo de letra. Uno de los términos debe tener la letra elevada al cuadrado, otro debe tener la letra sin elevar, y el otro término debe ser un número solo (sin letra). Por ejemplo: x2 + 3x + 2

8) FACTOREO CON GAUSS: El polinomio puede tener cualquier número de términos, pero uno de los términos debe ser un número solo (término independiente). Si biense puede aplicar con cualquier número de términos, se aconseja dejar este Caso como último recurso. Es decir, primero analizar si se puede aplicar cualquiera de los otros Casos.
Ejemplo: 2x3 - 3x2 - 11x + 6

Parece mucho, pero veamos en unos ejemplos cómo con estas claves se descartan rápidamente los Casos que no se aplican, y siempre hay que analizar uno o dos Casos solamente.

Ejemplo 1:36x2 - a6b4 =

Así es como hay que pensar: "Factor Común no hay. Tiene 2 términos, así que sólo puede ser el Quinto Caso o el Sexto Caso. Pero las potencias son todos cuadrados y es una resta. Mejor analizo si es una Diferencia de Cuadrados (5to Caso)".

Ejemplo 2:

x2 + 4x + 4 =

"Factor Común no hay. Como tiene 3 términos podría ser Trinomio Cuadrado Perfecto o el Séptimo Caso (con"cuadrática"). Primero analizo si es el Tercero. Y sino, pruebo si es el Séptimo. Si no es ninguno de esos, tampoco será con Gauss (¿por qué?)".

Ejemplo 3:

4x3 - 4x2 + x - 1 =

"Factor común no hay. Como tiene 4 términos, podría ser un Cuatrinomio..., ya que hay potencias terceras ("cubos"). Y si no lo es, pruebo a ver si se puede sacar Factor Común en Grupos. De últimas, pruebo el...