Temas Variados

Tema 1 Funciones de una variable.
1.1. Concepto de funci´n. o
♣

Definici´n 1.1 Se llama funci´n (real de variable real) a toda correspondencia (o regla), f , que a o o cada n´mero x le asigna un unico valor f (x). u ´

o Ejemplo 1.1 La regla que a cada n´mero le asigna su cuadrado, f (x) = x2 , es una funci´n, ya que u un n´mero tiene un unico cuadrado. Sin embargo, la regla que a cadan´mero le asigna el n´mero u ´ u u del que es cuadrado no es una funci´n, ya que a un n´mero positivo le asocia dos n´meros (4 es el o u u cuadrado de 2 y -2) En el primer caso, tenemos una ecuaci´n que relaciona un n´mero con su cuadrado y = x2 . En el o u segundo caso tambi´n se establece una relaci´n entre los n´meros mediante la ecuaci´n x = y 2, pero e o u o o ı no tenemos una funci´n. Sinembargo, podemos definir como funciones las ra´ces cuadradas positiva √ √ y negativa: la funci´n f (x) = x y la funci´n f (x) = − x. o o ♣ Ejemplo 1.2 La regla que a cada n´mero le asocia este n´mero, f (x) = x, es la funci´n identidad y u u o la regla que asigna a todos los n´meros un mismo valor fijo c ∈ R, f (x) = c, es la funci´n constante. u o Obs´rvese que en ambos casos a un n´mero le asociamos s´loun n´mero (distinto para todos en la e u o u primera y el mismo para todos en la segunda). ♣

Ejemplo 1.3 Podemos definir una funci´n mediante varias reglas parciales, por ejemplo, la funci´n o o valor absoluto es f (x) = |x| = ⎧ ⎨ x si x ≥ 0 si x ≤ 0 ♣

⎩ −x

Para ello, debemos comprobar que en los puntos comunes las reglas definen el mismo n´mero. u 1

2 Definici´n 1.2 Sea f : D ⊆ R −→ Ro •

´ BLOQUE I: CALCULO DIFERENCIAL

El dominio de f , D, son los puntos en los que est´ definida a Dom(f ) = {x ∈ R/∃f (x)}.

•

La imagen, rango o recorrido de f son los valores que toma en R Im(f ) = {y ∈ R/∃x ∈ D con f (x) = y}.

•

La gr´fica de f es su representaci´n en el plano formada por el conjunto de puntos a o Grf(f ) = {(x, y) ∈ R2 /f (x) = y}. ♣

Ejemplo 1.4
fx c c
1fx x
2.0 1.5

f x x2
2.0 1.5

f x x3
2

1

1.0

1.0
2 1 1 2

0.5

0.5
1

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2

1 0.5

1

2
2

2

1

1

2

3

4
0.5

•

La funci´n f (x) = c est´ definida para todo n´mero y s´lo tiene un resultado. Por tanto, su o a u o

dominio est´ formado por todos los n´meros reales y su imagen por el n´mero c. Su gr´fica son los au u a puntos del plano que verifican la ecuaci´n y = c: o Dom(f ) = R • Im(f ) = {c} Grf(f ) = {(x, y) ∈ R2 /y = c}.

La funci´n f (x) = x est´ definida para todo n´mero y todo n´mero es un resultado. Por tanto, o a u u

su dominio y su imagen est´n formados por todos los n´meros reales. Su gr´fica son los puntos del a u a plano que verifican la ecuaci´n y = x (la bisectriz del primer cuadrante):o Dom(f ) = R • Im(f ) = R Grf(f ) = {(x, y) ∈ R2 /y = x}. a u u La funci´n f (x) = x2 est´ definida para todo n´mero y todo n´mero positivo es el cuadrado o

de alg´n n´mero. Por tanto, su dominio est´ formado por todos los n´meros reales y su imagen por u u a u los n´meros reales positivos. Su gr´fica son los puntos del plano que verifican la ecuaci´n y = x2 : u a o Dom(f ) = R • Im(f ) = {y ∈R/y ≥ 0} Grf(f ) = {(x, y) ∈ R2 /y = x2 }. a u u u La funci´n f (x) = x3 est´ definida para todo n´mero y todo n´mero es el cubo de alg´n o

n´mero. Por tanto, su dominio y su imagen est´n formado por todos los n´meros reales. Su gr´fica u a u a son los puntos del plano que verifican la ecuaci´n y = x3 : o Dom(f ) = R Im(f ) = R Grf(f ) = {(x, y) ∈ R2 /y = x3 }. ♣

FUNCIONES DE UNA VARIABLEEjemplo 1.5
f x
2.0 1.5 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
1

3

x
0.5

f x

x

x
2

y2

1.0

0.5

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

0.5

1.0

1

1.5 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

2.0

2

•

La funci´n f (x) = o

√

x est´ definida para todo n´mero positivo y su resultado es el n´mero a u u

positivo del que es cuadrado. Por tanto, su dominio y su imagen est´n formado por...