Temas varios

1.1.13 Solución de desigualdades Este tema puede estudiarse en el texto Zill y Dewar (de la página 100 a la 117). Si p(x) y q(x) son expresiones racionales en la variable x (real), entonces lasrelaciones: p(x) < q(x) (1) p(x) ≤ q(x) (2) p(x) > q(x) (3) p(x) ≥ q(x) (4) se denominan inecuaciones en la variable x. Si x0 es un real y p(x0) < q(x0), se dice que x0 es una SOLUCIÓN de la desigualdad(inecuación) (1). Se llama CONJUNTO SOLUCIÓN de una desigualdad al conjunto formado por aquellos reales que hacen verdadera la desigualdad. Ejemplo: 0 (cero) y 1 (uno) son soluciones de la desigualdad5x2 – 4x < 2x + 7 En cambio, 8 no es solución de ésta. Si p(x) y q(x) son polinomios de grado 1, la desigualdad p(x) < q(x) se dice LINEAL (similarmente para los otros tres tipos mencionados). Unadesigualdad lineal como la indicada puede reducirse a la forma: ax + b < 0 o ax < c

con a, b, c constantes reales conocidas, y a ≠ 0. El conjunto solución depende, en cada caso, del signo de laconstante a. Si a > 0, el conjunto solución de la primera desigualdad es:  b S =  x ∈ 3: x < −  . a 

Si a < 0, el conjunto solución es:

 b T =  x ∈ 3: x > −  . a 
Ejemplo: Resuélvase ladesigualdad π + 6 > −3x − 2 Solución Usando las propiedades básicas de la relación “mayor que”, se obtiene: 3 x > −2 − π − 6

Así, De donde,

3 x > −(π + 8)

x>−

(π + 8)
3

El conjuntosolución de la desigualdad es el intervalo
 (π + 8)  ,+∞  − 3   Algunos problemas conducen a inecuaciones simultáneas. La expresión a < x < b (con a < b) resume para x dos condiciones que debesatisfacer simultáneamente: a a ⇔ x > a ∨ x < −a

Véase la página 105 del texto de Zill y Dewar.
Ejemplo: Resuélvase la desigualdad Solución La desigualdad propuesta equivale a:

x-4 <

∈ . 3

−Es fácil llegar a:

∈ ∈ 0, debido a que los tres factores son positivos. En x = – 1 y en x = 1, q(x) = 0. En x = 2, q(x) no está definida. En consecuencia, el conjunto solución de la desigualdad...