Temas

Universidad de Oriente
Núcleo de Anzoátegui
Escuela de Ingeniería y Ciencias Aplicadas
Departamento de Computación y Sistemas
Estadística II

Cuadrados Latinos

Profesor: Bachiller:
José González Veronica Rodriguez
C.I: 19.717.123

Barcelona, Marzo del 2013

Cuadrado latino
Un cuadradolatino es una matriz de n×n elementos en la que cada casilla está ocupada por uno de los n símbolos de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada columna y en cada fila.
Las siguientes matrices son cuadrados latinos:

Los cuadrados latinos se dan como una tabla de multiplicar (tabla Cayley) de quasigrupos, los cuales se aplican en el diseño de experimentos.
Elnombre cuadrado latino se origina con Leonhard Euler, quien utilizó caracteres latinos como símbolos. Un cuadrado latino se dice que está reducido (o "normalizado" o "de forma estandarizada") si la primera fila y la primera columna están en orden natural. Por ejemplo, el primer cuadrado está reducido, porque la primera fila y la primera columna son 1, 2, 3.
Es posible hacer un cuadradolatino permutando (reordenando) las filas y las columnas.
 Este diseño se utiliza para conducir experimentos en condiciones heterogéneas donde las propiedades cambian en dos direcciones como ocurre en la toma de muestras para análisis de laboratorio, donde las condiciones cambian entreplanta y planta (una dirección) y de hoja a hoja por tamaño o posición en la misma planta (otra dirección).El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones (filas ycolumnas) y la asignación de los tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que en cada fila y en cada columna se encuentren todos los  tratamientos constituye un diseño cuadrado latino.
Características:
1. Las u.e. se distribuyen en grupos, bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otraforma.
2. En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos.
3. Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna.
4. El número de filas = número de columnas = número de tratamientos
5. Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseñocompleto al azar y el diseño de bloques. La desviación estandar de la diferencia de promedios y la desviación estandar del promedio, están en función del cuadrado medio del error experimental.

Ejercicio:
Tomando los cuadrados 4 y 5 y sustituyendo las letras por los números en su orden natural resultan.

 ; 

Para valores de n distintos de los vistos no sabemos encontrar conjuntos completos deC.L.M.O. pero si podemos obtener parejas de cuadrados latinos ortogonales para diversos casos. Así, por ejemplo, las transformadas según las imágenes de la matriz (1) de orden n, son ortogonales a ella y nos permiten obtener múltiples cuadrados mágicos aplicando adecuadamente la ecuación (2).

 

Otro método para obtener varios C.L.M.O. se basa en el producto directo de matrices, que ilustramoscon un ejemplo (n = 12) :

estos dos cuadrados grecolatinos nos permiten obtener : 

  

Otro método válido para n = 4k es aplicar a un cuadrado latino una permutación como la aplicada a los de orden 2k. Resulta así otro cuadrado latino ortogonal al original. En este caso, la aplicación sistemática de la permutación considerada no da lugar a un conjunto completo de C.L.M.O. si no sólo a unapareja. 

 

Ejercicio:

Tomando los cuadrados 1º y 8º de la sexta familia, resulta:

Para el cuadrado nº 1 tenemos :

Diagonal directa → sin restricciones → 120 posibilidades
Diagonal inversa → ECDCE → (00244),(00334),(01144),(02233),(11224),(11233)

En cada uno de estos 6 grupos podemos permutar las letras E y C, y en cada subgrupo resultante las letras A y B con los...