Tension de esfuerzos

5.1.2.1 EL TENSOR DE TENSIONES
Supongamos que tenemos un sistema de fuerzas aplicadas sobre un cuerpo, entonces la tensión de superficie en un punto dado varía con la orientación de la superficie a través del punto. Si queremos conocer el efecto en un punto de todas las fuerzas actuando en el cuerpo, debemos poder determinar las tensiones de superficie en cada plano que pasa a través delpunto. De hecho, si conocemos la tensión de superficie en tres planos perpendiculares a través de un punto podemos calcular la tensión de superficie en cualquier otro plano que pase por dicho punto. Las componentes de estas tres tensiones de superficie medidas perpendicular y paralelamente a sus respectivos planos forman las componentes del tensor de tensiones. Así, el tensor de tensiones esuna cantidad que nos permite calcular las tensiones de superficie en un plano de cualquier orientación en un punto dado.
En dos dimensiones, si dibujamos desde un origen común las tensiones de superficie para todas las posibles orientaciones de superficie en un punto, se forma una elipse. (Ver Figura 20).




En tres dimensiones, el elipsoide de tensiones (Figura 21) en un punto estádefinido por las tensiones de superficie que actúan en planos de todas las posibles orientaciones a través de dicho punto.



Para las caras perpendiculares al eje y, por ejemplo, las componentes normales de las tensiones que actúan sobre ellas están señaladas con σ y . El subíndice y indica que la tensión actúa sobre un plano normal al eje y. La tensión tangencial se descompone en doscomponentes paralelas a los ejes coordenados. Es este caso, se usan dos subíndices: el primero indica la dirección normal al plano en cuestión y el segundo, la dirección de la componente de la tensión en sí misma. Si consideramos, por ejemplo, las caras perpendiculares al eje y, la componente en la dirección x es señalada por yx τ y la de dirección z por yz τ . (Ver Figura 22).Así, para cada par de caras paralelas de un elemento cúbico, se necesita un símbolo para representar la componente normal de la tensión y dos más para las componentes de la tensión tangencial. Se requieren, por lo tanto, tres símbolos para describir las tensiones normales que actúan sobre las caras de un cubo elemental, a saber, σ x , σ y , σ z y seis xy τ , yx τ , xz τ , zx τ , yz τ , zy τ ,para los esfuerzos tangenciales.
Los ejes principales de un elipsoide (mayor, intermedio y menor) son paralelos a los ejes de coordenadas principales y representan las tensiones principales, mayor, intermedio y menor respectivamente: σ 1 σ 2 σ 3 ′ ≥ ′ ≥ ′
Las tensiones principales son las tensiones de superficie actuando en los tres planos principales perpendiculares a través de un punto(Figura 23).





En los planos principales las tensiones normales tienen valores extremos y las tensiones tangenciales tienen valor cero. Podemos representar el punto como un cubo infinitesimal cuyas caras son paralelas a los planos principales y perpendiculares a los ejes principales 1 x′ , 2 x′ , 3 x′







Tensor de Esfuerzos
Nota: Por convención, consideraremos losesfuerzos compresivos como positivos y los esfuerzos tencionales como negativos.
En términos generales un tensor es un ente matemático que relaciona una cierta cantidad de números, denominados componentes del tensor, con un sistema de referencia. En notación de subíndices, también conocida como notación tensorial, un tensor se expresa como aijk…, donde ijk... pueden tomarlos valores 1,2,3,... Alnúmero de subíndices se le conoce como orden del tensor y al número (n) de valores que pueden tomar estos subíndices se le conoce como rango del subíndice. De estas definiciones resulta evidente que un vector es un tensor de orden 1, recuérdese que puede ser expresado como ai;. En el caso que nos ocupa en esta sección, estaremos utilizando Tensores Cartesianos de Segundo Orden, los cuales pueden ser...