Tension

8.0 – Variação da tensão com a orientação do plano da seção.
Nos capítulos precedentes aprendemos a computar os valores das tensões alcançadas em um certo ponto de uma dada seção de uma viga ou barra submetida a variados tipos de esforços solicitantes e suas combinações. Tais tensões são calculadas no plano da seção. Cabe indagar: - em outros planos, que não o da seção transversal, quais seriamos valores atingidos pelas componentes da tensão naqueles pontos?

8.1 – Estado Duplo de Tensões.
Inicialmente estudaremos o caso mais simples (porém muito comum) de pontos submetidos a um estado duplo (ou plano) de tensões (quando σz = τzx = τzy = 0), sendo conhecidas as tensões: σx , σy e τxy = τyx .

Suponha um elemento infinitesimal submetido a um estado plano de tensões, comoindicado na Fig. 8.1.1 (a) (onde todas as tensões foram supostas positivas). Em um plano qualquer (que tem como orientação a normal n), formando um ângulo θ com o plano “x” (que tem como normal o eixo x), as tensões reinantes serão designadas como: σn e τnt - Fig. 8.1.1 (b).
Computando as forças reinantes nas faces do elemento prismático em referência, pode-se concluir, por seu equilíbrio nasdireções normal (n) e tangencial (t) ao plano qualquer (θ) (Fig.8.1.1-c):

σn ds dz = σx dy dz cos θ + σy dx dz sen θ + τxy dy dz sen θ + τyx dx dz cos θ −−(ΣFn = 0)

Como τxy = τyx e, considerando que cos θ = dy/ds e sen θ = dx/ds, obteremos:
σn = σx cos2 θ + σy sen2 θ + 2 τxy sen θ cos θ.................. (8.1.1)

Pelo equilíbrio das forças na direçãotransversal (t), da mesma forma, obteremos:

τnt = - (σx - σy) sen θ cos θ + τxy ( cos2 θ - sen2 θ) ................. (8.1.2)

Como: cos2 θ = ½ (1 + cos2θ); sen2 θ = ½ (1 - cos2θ); sen2θ = 2 senθ cosθ e cos2θ ’ cos2 θ - sen2 θ,
obtemos

σn = ½ (σx + σy) + ½ (σx - σy) cos 2θ + τxy sen 2θ ...............(8.1.3)
e
τnt = - ½ (σx - σy) sen 2θ + τxy cos 2θ.................................(8.1.4)

(Observe os casos particulares quando θ = 0 e θ = 90º, que indicam as tensões dadas nos planos vertical – x, e horizontal – y).

8.2 – Tensões Extremas. Tensões Principais.

Relevante será computar os valores extremos alcançados pelas componentes da tensão. Para tal, igualaremos a zero as derivadas, em relação à variável θ, das componentes da tensão no plano genérico:- de (8.3) ..... dσn/dθ = - ½ (σx - σy) sen 2θ (2) + τxy cos 2θ (2) ’ 0, obtendo-se

tg 2θp = τxy / ½ (σx - σy) ………………………….(8.2.1)

equação que indica a orientação dos chamados planos principais onde as tensões normais são extremas (máxima e mínima), planos esses que serão perpendiculares entre si (existem dois valores do ângulo 2θp , defasados de 180º, que admitem a mesma tangente,portanto os correspondentes dois valores de θp estarão defasados de 90º).
Substituindo o valor dado por (8.2.1) na equação (8.1.4) verifica-se que as componentes tangenciais das tensões ocorrentes nos planos principais serão nulas.
Substituindo o valor dado por (8.2.1) na equação (8.1.3), obteremos os valores das tensões principais (tensões normais extremas, máxima e mínima):σ p1 = ½ (σx + σy) + √ [½ (σx - σy)] 2 + (τxy )2 ....................(8.2.2)

σ p2 = ½ (σx + σy) - √ [½ (σx - σy)] 2 + (τxy )2 ....................(8.2.3)

Interessante observar que, somando membro a membro as equações (8.2.2) e (8.2.3), concluiremos que a soma das tensões normais ocorrentes em planos perpendiculares é um invariante (o que seriaconfirmado calculando σt no plano θ + 90 em 8.3, e somando ao valor de σn no plano θ):

σx + σy = σn + σt = σ p1 + σ p2

Para avaliarmos os valores extremos alcançados pela tensão tangencial, analogamente igualaremos a zero a derivada da tensão τnt em relação à variável livre θ (em 8.1.4), obtendo:
dτnt /dθ = - ½ (σx - σy) cos 2θ (2) + τxy...