Tensiones y deformaciones

Versión 2004

CAPITULO 2
TENSIONES Y DEFORMACIONES. REVISIÓN DE
PRINCIPIOS FÍSICOS
División 3
Diversos Modelos de análisis y cálculo
Casos de Estudio

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2004

1. Introducción
En esta parte se resumen algunos modelos sencillos ya vistos en los cursos anteriores de
Estabilidad I y II y Mecánicade Sólidos para el cálculo de piezas y/o dispositivos. En estos
casos no se suministrarán deducciones específicas, ya que pertenecen al alcance de las
asignaturas mencionadas. Por otro lado se suministrarán descripciones de modelos de cálculo
más refinados para enfrentar la solución de problemas devenidos por la limitación de algunos
de los modelos clásicos donde su aplicación deja de tenerseguridad por no cumplirse las
hipótesis en que se basan los mismos.

2. Modelos de Barras
En la Figura 2.35 se muestra una viga sometida a cargas generales además de evidenciar las
variables cinemáticas que se utilizan normalmente para caracterizar el comportamiento de una
viga. En ella se ven claramente los desplazamientos y rotaciones flexionales en las dos
direcciones, junto con eldesplazamiento axial y la rotación torsional. De acuerdo al tipo de
geometría seccional, las ecuaciones de equilibrio de un modelo u otro pueden ser
desacopladas o no. En términos generales un modelo de viga contemplará tres grupos de
ecuaciones diferenciales:
- Las que caracterizan el movimiento axial
- Las que caracterizan el movimiento torsional
- Las que caracterizan el movimiento flexionalFigura 2.35. Descripción de una viga y sus variables más importantes

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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NOTA: El conjunto de ecuaciones que completan un modelo dependerá de la precisión y
detalle que amerite la solución, el cual podrá ser de 3, 4 o 6 ecuaciones.

El modelo de barra solicitada axialmente
En la Figura 2.36 semuestra una barra sometida a solicitaciones axiales. Para esta viga se
supone que la sección se mantiene totalmente plana antes y después de la deformación. La
ecuación diferencial para este movimiento es:

∂Q X
(2.96)
+ q x ( x) = 0
∂x
donde QX y qx(x) son el esfuerzo normal y la carga distribuida a lo largo de la barra,
respectivamente. El esfuerzo normal se calcula con
∂u xo
∂x
Lasposibles condiciones de borde para resolver la ecuación son:
Q X = EA

(2.97)

Nombre de la condición

Identificación

Forma Matemática en los
desplazamientos

Borde Fijo

Desplazamiento Nulo

u xo = 0

Borde Libre

esfuerzo normal nulo

∂u xo
=0
∂x

Borde con carga PX

esfuerzo normal no nulo

EA

∂u xo
= PX
∂x

Tabla 2.10. Condiciones de borde típicas para lateoría de vigas de Bernouilli-Euler.

El modelo de flexión: Teoría de Bernouilli-Euler
El modelo de se basa en las siguientes hipótesis:
-

Se supone planitud de la sección transversal antes y después de la deformación
Se supone la presencia solamente de un estado uni-axial de tensiones en la dirección
del eje lo que implica existencia de flexión pura.
El material es isótropo, homogéneo yverifica la ley de Hooke
La viga es recta con sección constante y de doble simetría en todo el dominio.

En estas circunstancias las ecuaciones de equilibrio de la viga vienen dadas por el siguiente
modelo matemático:

−

∂2M y
∂x 2

− q y ( x) = 0 ,

∂2M z
− q z ( x) = 0
∂x 2

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(2.98)

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siendo qy(x) y qz(x) funciones de distribución de carga, en tanto que My y Mz son los
momentos flectores en las direcciones y y z. Los momentos flectores pueden escribirse en
función de los desplazamientos como:

∂ 2 u yo

∂ 2 u zo
(2.99)
∂x 2
∂x 2
Siendo uyo y uzo los desplazamientos del centroide (ubicado en la línea neutra) de la sección en
las direcciones y y z. Por otro...