Tensor de esfuerzo

ESFUERZO
 
Fuerza  se define como una interacción entre dos cuerpos; es una cantidad física vectorial que se describe mediante los conceptos intuitivos de “empujar” y “jalar”.  Desde el punto de vista de la Dinámica, cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, el efecto que tiene dicha fuerza es darle al cuerpo una aceleración y, por tanto, cambiar el estado de reposo o de movimiento uniforme quetenía el cuerpo antes de la aplicación de la fuerza. Esto viene descrito por la Segunda Ley de Newton. 
 
En el ámbito de la Mecánica de los Medios Continuos, lo que nos interesa es el comportamiento que tiene la materia cuando se le aplica una fuerza. En este contexto, el efecto que tiene una fuerza aplicada sobre un determinado cuerpo es la deformación del mismo.
 
Para estudiar cómo seproducen las deformaciones, debemos centrarnos primero en entender que la acción de la fuerza aplicada y el efecto producido dependerán directamente del área sobre la que está actuando la fuerza. Este efecto se denomina esfuerzo, se define como “fuerza por unidad de área” y lo vamos a representar por .
 
Por ejemplo, se tiene un área A sobre la que se aplica una fuerza de magnitud F1y se tiene lamisma área A pero ahora se le aplica otra fuerza de magnitud F2, mayor que F1, como se indica la figura. ¿Cuál de las dos fuerzas ejercerá un mayor esfuerzo sobre A? La respuesta correcta es F2.
 
 

 
 
Ahora se tiene un área A1 sobre la que está actuando una fuerza de magnitud F y se tiene la misma fuerza pero ahora actuando sobre otra área A2 mayor que la primera. ¿En cuál de los dos casosdescritos se está realizando un mayor esfuerzo? En este caso la misma fuerza ejerce un mayor esfuerzo sobre el área más pequeña, A1.
 

 
 
Matemáticamente, las relaciones anteriores entre fuerza, área y esfuerzo se pueden resumir por la expresión:
 
      o bien :    
 
La relación anterior es una relación tensorial, de ahí que a  se le denominetensor de esfuerzos:
 

 
El uso delos tensores es muy común en Física, siempre que tengamos que describir propiedades de la materia que varíen con la dirección. Si tenemos un cuerpo sólido al que se le aplica una fuerza en su superficie, con una determinada magnitud y en una determinada dirección, los esfuerzos generados se aplican en en interior del cuerpo desde unas zonas hacia las zonas vecinas, dependiendo de su estructuramolecular. Por ello, el tensor de esfuerzos no es un escalar, sino una matriz que describe la distribución de los esfuerzos en todas las direcciones del espacio dentro del material.
 
¿Cómo se distribuye el esfuerzo alrededor de un punto situado dentro del material?
 
Vamos a suponer a la superficie de un determinado cuerpo sólido se le aplica una fuerza externa . Ahora nos fijamos en un punto Pdentro de este cuerpo y elegimos un elemento de volumen infinitesimal V de forma cúbica de forma que contenga al punto P, como se observa en la figura:
 
 

 
 
 
Vamos a describir el efecto que tiene la fuerza externa sobre el punto P.
 
Supongamos que tenemos un plano perpendicular a la dirección x que atraviesa el volumen generando el área yz. Debido a las fuerzas internas dentro delcuerpo, el material ubicado en la parte izquierda del plano ejerce una fuerza  sobre el material ubicado en la derecha y, por la Tercera Ley de Newton, el material de la derecha ejercerá una fuerza sobre el de la izquierda de igual magnitud y dirección que , pero de sentido contrario. Esta fuerza no necesita ser perpendicular al área, puede tener cualquier orientación, por tanto,  es un vectorcon tres componentes  que está aplicado al área yz. Como el área yz es muy pequeña, se puede decir que  es proporcional al área, y el factor de proporcionalidad corresponde al esfuerzo. Así, para cada componente de la fuerza  tenemos un esfuerzo dado por:
 
 ,                ,                
 
 

 
 
Ahora consideramos un plano perpendicular al eje cortando al volumen V por el...