Tensor de esfuerzos y deformación

MECANICA DE ROCAS (MI4060)

TENSOR DE ESFUERZOS Y DEFORMACION

Dr., Ing. Javier Vallejos – U. de Chile / Ing. de Minas

MI4060 (Otoño, 2011)

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Libros de referencia (opcional)
“ Stresses in Rock” Herget, G. (1988) A. A. Balkema

“ Rock Mechanics for Underground Mining” Brady, B.H.G. and Brown, E.T. (2006) Springer: Dordecht

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Terminología
En la mecánica de rocas es necesario estimar para un campo de esfuerzos dado: • Esfuerzos principales y sus direcciones • Esfuerzos de corte máximo y sus direcciones • Esfuerzos normales y de corte actuando en un plano Compresión es considerada como positiva, esto se debe a que la mayoría de los esfuerzos en problemas de la Mecánica de Rocas soncompresivos. La Mecánica de Suelos y Geología Estructural también utilizan siguen esta convención

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Concepto de esfuerzo
En 3D es un concepto no familiar: es una cantidad tensorial que no se encuentra cotidianamente
Escalar: cantidad con solo magnitud independiente de una rotación (ej: temperatura, tiempo,masa, energía) Vector: cantidad con magnitud y dirección (ej: fuerza, velocidad)

Tensor: cantidad con magnitud y dirección, dependiente del plano de referencia utilizado (ej: esfuerzo, deformación)

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Concepto de esfuerzo
En su forma más sencilla puede ser calculado en una dimensión, como la carga divido porel área sobre la cual actúa

Normal

Corte

Los esfuerzos actuando en un plano pueden tener dos componentes:
• Normal (σ): perpendicular a la superficie – compresión • Corte (τ): paralelo a la superficie – distorsión angular

En un volumen producen:
• Normal (σ): compresión • Corte (τ): distorsión angular

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Fuerza vs Esfuerzo
• Consideremos un apilamiento de bloques de concreto de distintos tamaños que soportan un gran peso W

} } }

Este bloque soporta W El área es 4ab Estos bloques soportan W/2 cada uno El área de cada bloque es 2ab Estos bloques presentan W/4 cada uno El área de cada bloque es ab

→σ = →σ = →σ =

W 4ab W 2 W = 2ab 4ab W 4 W = ab 4ab

• Como podemos ver cuando elcuerpo del sólido considerado cambia, también lo hacen las fuerzas • Si se utiliza el esfuerzo (Fuerza/Área) vemos que cada bloque esta sometido al mismo esfuerzo, independiente del tamaño del bloque • Por lo tanto, si el cuerpo sólido se divide en elementos, el tamaño de los elementos individuales no afecta a los valores de esfuerzos
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Fuerza vs Esfuerzo
F
θ

Fn = F cos θ

F

σn ?
A

A
θ An = A cos θ

Fn = F sin θ

Fn = F cos θ

σ=

F A

σn =

Fn F = cos 2 θ = σ cos 2 θ An A

Cuando la componente de fuerza Fn es determinada en una dirección θ con respecto a F el valor es: Fcosθ Cuando la componente de esfuerzo normal es determinada en la misma dirección el valor es: σcos2θ Larazón de esto es que en el primer caso solo la fuerza debe ser proyectada, mientras que, en el segundo caso se proyectan la fuerza y el área
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Esfuerzos como propiedad puntual
Un cuerpo en equilibrio estático (velocidad nula) está sometido a tres condiciones de equilibrio:

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Esfuerzos como propiedad puntual
Se desea estimar los esfuerzos al interior del cuerpo: • En cualquier área ΔA de la superficie, creada al cortar el cuerpo, el equilibrio interno es mantenido por la fuerza normal (ΔN) y de corte (ΔS) • Debido a que estas fuerzas varían de acuerdo a la ubicación de ΔA en la superficie, resulta mas útil considerar...