Tensor de esfuerzos

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TENSOR DE ESFUERZOS
Denis Legrand Departamento de Geofísica Universidad de Chile Introducción:
Cuando una fuerza F actúa sobre una superficie S, genera una presión P.

P=
La presión es un escalar.

F S

Vamos ahora considerar un medio elástico, es decir un medio que se deforma elásticamente cuando se aplica una fuerza en este medio y que regresa a su estado inicial cuando se cancelaesta fuerza. En tal medio, no se habla más de presión si no de tensor de esfuerzos, que es una generalización de la noción de presión en el caso de un medio elástico. El tensor de esfuerzos está asociado a las tensiones internas que existen en el medio. Por ejemplo, si calentamos un medio elástico, los átomos en su interior van a moverse y generar un cambio del tensor de esfuerzos. Esto puedeocurrir bajo los volcanes. En el caso de un medio elástico, las cosas son un poco complicadas. La presión (un escalar) se convierte en un tensor de segundo orden (el tensor de esfuerzos). ¿Porque eso? Si se aplica una fuerza más y más fuerte en un medio elástico, después de un valor critico el medio elástico se va a romper. Se va a generar por ejemplo una falla si el medio elástico es la tierra. Ladirección de esta falla no va a ser cualquiera. Si aplicamos una fuerza (con una dirección definida) sobre una roca, la roca se va a romper en una dirección bien definida (dependiendo del estado de la roca, de sus propiedades elásticas, etc...). Por ejemplo si el medio es perfecto (elástico, homogéneo, isotrópico, sin fallas preexistentes y con planos de falla sin fricción), la falla se va a rompera 45° de la dirección de la fuerza. Es por eso que hay que definir un tensor con conceptos de dirección. Son las propiedades del medio elástico las que hace obligan a definir esta nueva noción de tensor de esfuerzos y no simplemente el de una presión. Estas dos direcciones (la de la fuerza, y la dirección del plano de la falla que fue creado después de la aplicación de la fuerza), indican quedebemos definir un tensor con dos índices, que corresponden a estas dos direcciones.

Definición:
Primero tenemos que definir la orientación de una superficie S que se puede caracterizar con un vector normal a esta superficie:

r

r n

n
S
En esta superficie de normal n , vamos a aplicar una fuerza F . Definimos el tensor de esfuerzos σ como el tensor:

r r S=Sn
r

r

r r r F =σ S=σ S n

2

F
S
r r

n

Esta fuerza F actúa en los átomos de cada parte de esta superficie S. Ojo: Esta notación no significa que el vector F es paralelo al vector n porque hay la presencia del tensor de r esfuerzo σ que actúa sobre el vector n y que cambia su dirección. A este tensor de esfuerzos se puede definir una aplicación linear “a” tal que:

r

donde ( u , v , w ) es la base enla cual esta definido el tensor de esfuerzos. Tomemos un sistema de referencia (x,y,z):

r r r

r ⎛ σ 11 σ 12 σ 13 ⎞ u ⎟r ⎜ M ( a ) = σ = ⎜σ 21 σ 22 σ 23 ⎟ v r ⎜σ σ 32 σ 33 ⎟ w ⎝ 31 ⎠

r r r a (u ) a(v ) a( w)

Z

Y X

r En este sistema, las componentes de F son:
(1)

Fi = σ ij n j S

(i puede ser igual a x, y o z. Igualmente, j puede ser igual a x, y o z). Los índices repetidossignifican que se hace una sumatoria sobre este índice. Por ejemplo: Fx = σ xx n x + σ yx n y + σ zxx n z S

(

)

Este tensor de esfuerzos

σ = (σ ij )

tiene dos índices. El primer índice i es relacionado con la dirección de la

fuerza, el segundo índice j es relacionado con la orientación de la superficie. Ejemplo: tomemos una superficie horizontal (que entonces va a tener un vectornormal en la dirección z). En esta superficie, los σ ij van a estar de la forma σ i • . La i corresponde a la dirección de la normal, y el punto ● corresponde a la dirección en la cual esta orientado el esfuerzo. Entonces vamos a tener:

3

Z

Z

Y X

σ yz

Y X

σ

xz

σxz es paralelo al eje X, en un plano perpendicular σyz es paralelo al eje Y, en un plano perpendicular a...