Tensores (Introduccion A La Mecanica Del Medio Continuo)

CAPITULO 2: TENSORES

PARTE A: NOTACION INDICIAL

2A. 1 CONVENCION DE SUMATORIAS, INDICES “FALSOS”

Considerando la suma:
[pic]
Se puede escribir:
[pic]
El índice [pic], ó [pic], ó [pic]en las ecuaciones anteriores son llamados índices “falsos” en el sentido de que la sumatoria es independiente de la letra usada.
Podemos adicionalmente simplificar la escritura de las ecuacionesanteriores si adoptamos la siguiente convención: “Toda repetición de un índice en un mismo monomio de una expresión algebraica supone la sumatoria respecto a dicho índice”.
Esta convención es conocida como convención de sumatoria de Einstein y de acuerdo a esto se tiene:
[pic]

Empleo de notación indicial en igualdades

Cuando se expresan igualdades de cantidades vectoriales o tensoriales se puedeemplear notación compacta, indicial o matricial. De esta manera, por ejemplo, la igualdad de dos tensores [pic] y [pic] se puede indicar de cualquiera de estas tres maneras:
[pic][pic]
Sin embargo no es correcto escribir:
[pic] ni tampoco, [pic]

2A. 2 INDICES LIBRES

Un índice que solo aparece una vez en cada termino de una ecuación es llamado “índice libre”, el cual tomara los valores1,2 o 3 de uno en uno, como ejemplo consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
[pic]
Usando la convención de sumatorias podemos escribir:
[pic]
Lo cual puede ser escrito de forma corta así:
[pic]
Es importante tener en cuenta que un índice libre que aparezca en una expresión algebraica debe ser igual en cada uno de los términos de esta, es decir que una expresión como [pic] carece desentido pues [pic]. En conclusión para que algún índice sea considerado índice libre deben aparecer en todos y cada uno de los términos de la expresión.

2A. 3 DELTA KRONECKER

El delta Kronecker, denotado por [pic], se define como:
[pic]
En otras palabras:
[pic]
Entonces podemos enunciar las siguientes propiedades:
• [pic]
• [pic]
• [pic]
• Si [pic] son vectoresunitarios y perpendiculares entre si, entonces [pic][pic]

2A. 4 SIMBOLO ALTERNADOR

Previamente definamos permutación par e impar:
Sean [pic] una permutación de los números 1, 2, 3. Se dice que la permutación es par si [pic] son tres números consecutivos del conjunto 1, 2, 3, 1, 2 y se dice que una permutación es impar en caso contrario. Por ejemplo, 2, 3, 1 es una permutación par de los números1, 2, 3 y 2, 1,3 es una permutación impar de los mismos.
El símbolo alternador, denotado por [pic] esta definido por:
[pic]
[pic]
Es decir:
[pic]
Notemos que:
[pic]
Si [pic] cumplen con la regla de la mano derecha, entonces:
[pic] [pic] Etc…
Lo cual podemos escribir como:
[pic]
Ahora, si [pic] y [pic], entonces:
[pic]

2A. 5 MANIPULACIONES CON LAS NOTACIONESINDICIALES

a) Sustitución:

Si,
[pic]
Y
[pic]
Entonces:
[pic]
Reemplazando:
[pic]

b) Multiplicación:

Si
[pic]
Y
[pic]
Entonces:
[pic]

Es importante notar que [pic]De hecho el lado derecho de la expresión no esta definido bajo la convención de sumatoria y por tal es obvio que:
[pic]
Considerando que el producto de vectoreses distributivo, y se tiene [pic] y [pic] entonces:
[pic]
En particular, si [pic] son vectores unitarios perpendiculares entre si, entonces [pic]así que:
[pic]

c) Factorización:

Si
[pic]
Entonces, usando el delta de Kronecker, podemos escribir:
[pic]
Reemplazando:
[pic]
Así:
[pic]

PARTE B: TENSORES

El análisis tensorial puede considerare como una generalización del análisisvectorial aplicado a ciertas cantidades matemáticas y físicas conocidas como tensores que requieren mas de tres componentes para su completa especificación. Hay además algunas leyes desde el punto de vista de la física que sirven para transformar las componentes de tensores cuando se cambian los ejes. Para suscitar interés en el estudio de los tensores como parte esencial de la mecánica de los...