Tensores

1 Tensores

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Tensores
1.1 Introducción
Muchos fenómenos físicos se representan matemáticamente mediante Tensores, los cuales,
por necesidad son representados en un sistema de referencia, de este modo surge el
concepto de componentes del tensor. Si bien los tensores son independientes del sistema
de referencia, las componentes serán dependientes y variarán con éste.
Los tensores puedenser clasificados según su orden como:
Escalar (Tensor de orden 0): Cantidad que tiene magnitud pero no dirección (ejemplo:
densidad, temperatura, presión). Los escalares pueden ser funciones del espacio y del
tiempo y no necesariamente han de ser constantes.
Vector (Tensor de orden 1): Cantidad que tiene magnitud y dirección (ejemplo: velocidad,
aceleración, fuerza). Será simbolizado por unaletra en negrita con una flecha en la parte
r
superior del tensor, i.e.: • .
Tensor de segundo orden (Tensor de orden 2): Cantidad que tiene magnitud y dos
direcciones (ejemplo: tensión, deformación). Será simbolizado por una letra en negrita.
Para los tensores de órdenes superiores también usaremos letras en negrita.
Este capítulo trata del estudio detallado de los tensores (escalar, vector,tensor de segundo
orden, y de orden superior), y de algunas herramientas matemáticas que darán soporte al
desarrollo de las teorías que se exponen en los capítulos posteriores.
Primeramente, revisaremos algunas operaciones de vectores independientemente del
sistema de coordenadas. A continuación, introduciremos el sistema de coordenadas
rectangulares para expresar las componentes de unvector en dicho sistema. Una vez
definido el sistema de referencia, podremos expresar las operaciones con vectores tan sólo

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BÁSICOS

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en función de sus componentes. Por último, expondremos la notación indicial por su
simplicidad y fácil manipulación matemática.
Posteriormente estudiaremos los tensores de orden superior, poniendo especial énfasis enlos tensores de segundo orden. Para finalizar, plantearemos los campos de tensiones y los
sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas.

1.2 Vectores
A continuación presentamos algunas operaciones entre vectores en el espacio vectorial
tridimensional Euclidiano (E ) .
Suma
r

r

Sean los vectores a y b pertenecientes al espacio de vectores. La suma de los mismos, ver
r
Figura1.1(a), será otro vector ( c ) dado por:
rrrrr
c =a+b=b+ a
r
a

(1.1)
r
d

r
c
r
−b

r
b

r
a

r
c

r
b

a)

b)
Figura 1.1: Suma y resta de vectores.

Resta
r

r

r

La resta de dos vectores ( a , b ), ver Figura 1.1(b), será otro vector ( d ) dado por:
rrr
d=a−b
r

r

(1.2)

r

Para los vectores a , b y c , pertenecientes al espacio de vectores, secumplen las siguientes
relaciones:
rrrrr
rr
rr
(a + b) + c = a + (b + c ) = a + b + c

(1.3)

Producto por un escalar λ
r

r

r

Sea el vector a , el producto λa será un vector con la misma dirección de a , mientras que
su módulo y sentido dependerán del valor del escalar λ , tal y como se indica en la Figura
1.2.

Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos

Por: EduardoW.V. Chaves

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λ =1

λ >1

r
a

13

0 < λ 0

xT T x > 0

r

(1.225)

para todo vector x no nulo.
Decimos que un tensor es definido negativo cuando se cumple que:
Notación Tensorial

Notación Indicial

Notación Matricial

r
r
x⋅T⋅x 0 , λ 2 > 0 , λ 3 > 0 ) sean positivos.
La demostración se encuentra en el subapartado “Representación Espectral de un Tensor”.■
Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos

Por: Eduardo W.V. Chaves

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Ejemplo 1.27: Sea un tensor de segundo orden arbitrario F . Demostrar que los tensores
resultantes C = F T ⋅ F y b = F ⋅ F T son tensores simétricos y semi-definidos positivos. Verificar
también en que condiciones C y b son tensores definidos positivos.
Solución:
(F T ⋅ F )T = F T ⋅ (F T...