Teo lagranje

Teorema sobre los multiplicadores de Lagrange
Oscar Reula April 15, 2008

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Preliminares

Sea V un espacio vectorial. Diremos que un conjunto de vectores,{ei}, i = 1..N es una base si estosson linealmente independientes y cualquier vector se puede escribir como combinaci´n lineal de estos. Diremos entonces que N o es la dimensi´n de V . Cualquier otro conjunto de N vectores linealmente oindependientes forman una base. Es decir cualquier vector puede escribirse como combinaci´n lineal de estos N vectores. o Sea V ′ el conjunto de aplicaciones lineales de V en R, es decir todas lasfunciones τ que toman un elemento v de V y nos dan un n´ mero real, τ (v) tal u que τ (αv + w) = ατ (v) + τ (w), con v, w ∈ V y α ∈ R. Este es un espacio vectorial, con suma y producto definidos como: (τ+ σ)(v) (ατ )(v) := := τ (v) + σ(v) ∀ v ∈ V ατ (v) ∀ v ∈ V α ∈ R (1) (2)

(note que en el lado derecho solo tenemos sumas y productos de n´ meros reales). u Ejercicio: Vea que el conjunto deelementos {θi }, i = 1..N , definidos como θj (ei ) := δ j i forman una base de V ′ y por lo tanto la dimensi´n de este espacio o N ′ i es tambi´n N . Ayuda: Vea que dado τ ∈ W luego τ = e i=1 τi θ donde τi:= σ(ei ). Sea V un espacio vectorial y K un subespacio del mismo, diremos que W es un espacio complementario a K en V si todo elemento de V se puede escribir de una unica forma como suma de unelemento de K y otro de W . El espacio ´ complementario no es unico. Ejemplo: Sea V = R3 , Y sea {e1 , e2 , e3 } una base ´ del mismo. Sea K el subespacio expandido por {e1 , e2 }, es decir el espacio detodos los vectores de la forma ae1 +be2 , con a, b ∈ R. Luego W es cualquiera de los subespacios expandidos por alguno de los vectores de la forma ce1 +de2 +f e3 , con f = 0.

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Teorema de losmultiplicadores de Lagrange

Teorema:Sea τ ∈ V y {σ J } ∈ V ′ , J = 1..M tales que i) los {σ J } son linealmente independientes en V ′ . ii) τ (v) = 0 si σ J (v) = 0 ∀J = 1..M . M Entonces existen n´...