TEOEMA DE PITAGORAS
Páginas: 5 (1111 palabras)
Publicado: 17 de febrero de 2014
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a \, y b \,, y la medida de la hipotenusa es c \,, se estableceque:
(1) c^2 = a^2 + b^2 \,
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
a = \sqrt {c^2 - b^2} b= \sqrt{c^2-a^2} c = \sqrt {a^2 + b^2}
El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración delteorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados ysegmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
China: el "Zhou Bi Suan Jing", y el "Jui Zhang Suang Shu"
Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.
Pythagoras-2.gif
El "Zhou Bi" es unaobra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al "Jiu Zhang" parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.
El "Zhou Bi" demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, yun cuadrado de lado c.
Demostración
Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:
a^2 + b^2 = c^2\,
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos uncuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \,
Ya que (b-a)^2 = (a-b)^2 \, .
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él másel área del cuadrado menor:
c^2 = 4 \cdot \left( \frac{a \cdot b}{2} \right) + a^2 - 2ab + b^2= a^2 + b^2
Con lo cual queda demostrado el teorema.
Demostraciones supuestas de Pitágoras
Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanzade triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.1
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son igualesbien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
De la semejanza entre ABC y AHC:
y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.
\frac {b}{b'}=\frac {c}{b}
b^2\ =\ b'c
De la semejanza entre ABC y BHC:
\frac {a}{a'}=\frac {c}{a}
a^2\ =\ a'c
Los resultados obtenidos...
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a \, y b \,, y la medida de la hipotenusa es c \,, se estableceque:
(1) c^2 = a^2 + b^2 \,
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
a = \sqrt {c^2 - b^2} b= \sqrt{c^2-a^2} c = \sqrt {a^2 + b^2}
El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración delteorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados ysegmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
China: el "Zhou Bi Suan Jing", y el "Jui Zhang Suang Shu"
Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.
Pythagoras-2.gif
El "Zhou Bi" es unaobra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al "Jiu Zhang" parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.
El "Zhou Bi" demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, yun cuadrado de lado c.
Demostración
Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:
a^2 + b^2 = c^2\,
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos uncuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \,
Ya que (b-a)^2 = (a-b)^2 \, .
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él másel área del cuadrado menor:
c^2 = 4 \cdot \left( \frac{a \cdot b}{2} \right) + a^2 - 2ab + b^2= a^2 + b^2
Con lo cual queda demostrado el teorema.
Demostraciones supuestas de Pitágoras
Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanzade triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.1
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son igualesbien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
De la semejanza entre ABC y AHC:
y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.
\frac {b}{b'}=\frac {c}{b}
b^2\ =\ b'c
De la semejanza entre ABC y BHC:
\frac {a}{a'}=\frac {c}{a}
a^2\ =\ a'c
Los resultados obtenidos...
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