TeoMod

TEOR´IA DE MODELOS
J. Climent Vidal.

1.

´ n.
Descripcio

La teor´ıa de modelos es la rama de la l´ogica matem´atica que estudia el
concepto de verdad a trav´es de la conexi´on de Galois, inducida por la relaci´
on
de satisfacibilidad de Tarski, entre los conjuntos de f´ormulas, relativas a
cierto lenguaje formal, y los conjuntos de sistemas algebraicos, adecuados
al mismo lenguaje formal y losv´ınculos que existen entre las relaciones de
consecuencia sint´actica y sem´antica.
Para ciertos autores, e.g., Chang & Keisler, la teor´ıa de modelos es simplemente la “suma”del ´algebra universal y de la l´ogica matem´atica.
El teorema de L¨owenheim-Skolem, seg´
un el cual cualquier sentencia de la
l´ogica de predicados de primer orden con igualdad que sea verdadera en un
sistema algebraico loes en uno que sea a lo sumo infinito-numerable, es el
primer resultado de la l´ogica de predicados que puede ser considerado como
perteneciente a la teor´ıa de modelos. Sin embargo, el primer resultado que
establece un v´ınculo entre la noci´on de demostrabilidad y la de verdad es el
teorema de completitud de G¨odel, seg´
un el cual una sentencia de la l´ogica de
predicados es verdaderaexactamente si es demostrable, estableciendo as´ı la
identidad, para la l´ogica de predicados, entre las relaciones de consecuencia
sint´actica y sem´antica. Cabe se˜
nalar tambi´en que Tarski realiz´o un profundo an´alisis de la interpretaci´on de las sentencias de un lenguaje formal en
sistemas algebraicos adecuados al mismo. Adem´as, Skolem demostr´o la existencia de modelos no-standard de laaritm´etica, haciendo uso del m´etodo,
despu´es, denominado de los ultraproductos.
Estos desarrollos aut´onomos de la teor´ıa de modelos, tuvieron su continuaci´on con los trabajos de Mal’cev sobre el teorema de compacidad, seg´
un
el cual una condici´on suficiente para que un conjunto de sentencias de la l´ogica de predicados tenga un modelo es que cada subconjunto finito del mismo
tenga un modelo, y suaplicaci´on a la demostraci´on de teoremas de la teor´ıa
de grupos infinitos. Adem´as, el teorema de compacidad proporciona un medio para demostrar teoremas de encajamiento en el ´algebra, e.g., si cualquier
subanillo finito-generado de un anillo no conmutativo se puede encajar en
un anillo con divisi´on, entonces el anillo see puede encajar en un anillo con
divisi´on. Tambi´en en esta l´ıneaalgebraica, A. Robinson estudi´o los conjuntos de modelos de conjuntos de sentencias de la l´ogica de predicados en el
mismo sentido que en la geometr´ıa algebraica se estudian los conjuntos de
los ceros de ideales generados por polinomios y obtuvo resultados aplicables
a la teor´ıa de cuerpos.
Otro tipo de aplicaci´on est´a relacionado con la completitud, e.g., hay resultados acerca del cuerpo de los n´umeros reales que se pueden formular
en la l´ogica de predicados pero que han sido demostrados usando m´etodos topol´ogicos. Un resultado de Tarski demuestra que tales resultados son
verdaderos en todos los cuerpos reales cerrados independientemente de sus
propiedades topol´ogicas. Un m´etodo relacionado ha sido por A. Robinson
1

2

para dar una nueva demostraci´on de un teorema de Artinrelativo a un problema de Hilbert. El mismo A. Robinson, haciendo uso del m´etodo de los
ultraproductos, aplic´o la teor´ıa de modelos para obtener nuevos resultados
en el an´alisis matem´atico. Tambi´en han sido obtenidos resultados acerca de
la independencia y consistencia relativa por parte de Cohen, mediante la
construcci´on de modelos adecuados.
Adem´as, los m´etodos de la teor´ıa de modelospermiten obtener caracterizaciones de ciertas clases de sentencias mediante el estudio de las propiedades de clausura de los conjuntos de modelos de las mismas, as´, e.g.,
las clases ecuacionalmente definibles son exactamente las clases de ´algebras
universales cerradas bajo im´agenes homomorfas, sub´algebras y productos.
Este curso est´a organizado atendiendo a la complejidad de las f´ormulas
y de...