Teoría electromagnética

Ecuación de Poisson
En matemática y física, la ecuación de Poisson es una ecuación en derivadas parciales con una amplia utilidad en electrostática, ingeniería y física teórica. Su nombre se lo debe al matemático, geómetra y físico francés Simeón-Denis Poisson.
La ecuación de Poisson se define como:

Donde  es el operador laplaciano, y f y φ son funciones reales o complejas. En un sistemade coordenadas cartesianas tridimensional, toma la forma:

Si f = 0, la ecuación se convierte en la ecuación de Laplace

Problema de Poisson
La ecuación de Poisson junto con las condiciones de contorno homogéneas, constituye uno de los tres problemas clásicos relacionados con el operador laplaciano que se detallan a continuación. Concretamente el problema de Poisson es el problema de encontraruna función definida sobre el dominio Ω que satisfaga:
(1)
Este tipo de problema puede ser resuelto de manera sencilla, mediante el método de la función de Green, para n > 2:

Problemas de potencial
La ecuación anterior aparece en problemas electrostáticos y de potencial gravitatorio. En esos problemas ρ representa la densidad de carga eléctrica o bien la densidad de masa. Además laconstante cn debe ser tomada 1/ε0 para problemas electrostáticos (en SI), mientras que en problemas de potencial gravitatorio se toma como cn = 4πG.

Problema de Dirichlet 

El problema de Dirichlet es un problema de encontrar una función armónica sobre un dominio tal que sea igual a otra función dada sobre el contorno del dominio:
(2)
En electrostática el problema de Dirichlet se corresponde con elproblema de encontrar el campo dentro de una cavidad metálica "conectada a tierra" (potencial constante) de forma Ω dentro de la cual hay una distribución de carga dada por ρ.
Relación con el problema de Poisson
Existe un medio para reducir el problema de Dirichlet a un problema de Poisson. Si  es una función de clase C1 sobre la frontera del dominio y  es una extensión de f a todo el dominio Ωque sea de clase C2, es decir:

Entonces la solución del problema de Dirichlet (2) viene dada por una función suma de la extensión anterior y otra función que es solución de un problema de Poisson como (1):

Problema de Neumann
El problema de Neumann es similar al anterior pero en lugar de fijar el valor de la función incógnita sobre la frontera, fija el valor de la derivadaperpendicularmente a la superficie.
(3)

La Ecuación de La place en coordenadas cartesianas en tres dimensiones es:

                                                   (16)
 
Siendo V una función de x, y, z. Con la finalidad de ilustrar lo señalado respecto a las características de la solución general de la Ecuación de La place y la forma de determinar el valor de las constantes en la soluciónmediante las condiciones de frontera se obtiene primero la solución de la ecuación considerando que sólo existe dependencia en una variable, para luego tratar los casos en dos y tres variables. En el caso de dependencia en dos variables se muestra la obtención de la solución mediante el Método de Separación de Variables, método que será empleado en otros casos posteriormente.
 
4.2.1     Dependenciaen Una Coordenada Cartesiana.
 
 
            Si dada una situación particular, se espera que el potencial eléctrico sólo tenga dependencia en una variable cartesiana, digamos V(z), la Ecuación de Laplace (ec. 16) se reduce a un término:
 
                                                         (17)
 
En esta expresión se escribe a la segunda derivada respecto a z en forma total porque elpotencial eléctrico es sólo función de una variable.
 
Para determinar la solución integramos respecto a z, con lo que se obtiene:
 

 
Siendo A una constante. Integrando de nuevo, se tiene la solución general en este caso:
 
                                                        (18)
 
Siendo B una segunda constante. La determinación de los valores de las constantes A y B depende del...