Teoría Calculo diferencial III
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Ampliacio de Matematiques
Equacions Diferencials
Mari Carme Leseduarte
Antoni Maga˜a
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Ramon Quintanilla
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Index
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Index
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Index
3
1 Generalitats sobre EDO’s
7
1.1 Equacions diferencials . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2 Solucions de les equacions diferencials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Problema de Cauchy o de valors inicials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Exist`ncia i unicitat de solucions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
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1.5 EDO d’una fam´ o feix de corbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18ılia
1.6 Traject`ries ortogonals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
o
1.6.1
Interpretaci´ geom`trica de y = f (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . 22
o
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1.6.2
Traject`ries ortogonals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
o
2 Equacions de primer ordre
29
2.1 Equacions immediates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 29
2.2 Equacions amb variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1
Equacions reductibles a variables separables . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Equacions homog`nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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2.4 Equacions exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5Factor integrant. Equacions reductibles a exactes . . . . . . . . . . . . . 45
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Index
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4
2.6 Equacions lineals de primer ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Resoluci´ per factors d’integraci´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
o
o
2.6.2
Sobre la soluci´ general de les equacions lineals . . . . . . . . . . 54
o
2.6.3
Resoluci´ pel m`tode devariaci´ de les constants . . . . . . . . 55
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2.6.1
2.7 Equacions reductibles a equacions de primer ordre . . . . . . . . . . . . 57
2.7.1
Cas 1: no apareix la y (la variable dependent) . . . . . . . . . . 57
2.7.2
Cas 2: no apareix la x (la variable independent) . . . . . . . . . 58
3 Aplicacions
61
3.1 Creixement depoblacions. Desintegraci´ de subst`ncies . . . . . . . . 61
o
a
3.1.1
Creixement de poblacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.2
Desintegraci´ de subst`ncies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
o
a
3.2 Buidat de dip`sits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
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3.3 Escalfament i refredament . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Mescles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5 Problemes din`mics amb massa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
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3.6 Fugida de la terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Equacions lineals d’ordre n
73
4.1 Equacions diferencialslineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1
Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2
Sobre la soluci´ general de l’equaci´ lineal . . . . . . . . . . . . . 75
o
o
4.2 Depend`ncia i independ`ncia lineal de funcions . . . . . . . . . . . . . . 77
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4.3 Solucions de les equacions lineals . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 79
4.3.1
Soluci´ general de l’homog`nia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
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4.4 Equacions lineals homog`nies a coeficients constants . . . . . . . . . . . 85
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4.5 Equacions lineals no homog`nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
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4.5.1
M`tode de variaci´ de les constants o dels par`metres . . . . . 89
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a
4.5.2...
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