teoría de cascaras

Teoría General de Cáscaras

Teoría General de Cáscaras
El análisis teórico de las cáscaras, consiste
en establecer en primer lugar las ecuaciones
de equilibrio de un elemento diferencial
cortado de la misma, bajo la acción de
solicitaciones externas, y en segundo
término las ecuaciones de compatibilidad de
las deformaciones , de manera tal de restituir
de esta forma la continuidad delelemento
cortado, después de la deformación de la
cáscara.

Teoría General de Cáscaras
Hipotesis fundamentales:
• El material se supone continuo , isótropo y
homogéneo.
• De comportamiento elástico y lineal.
• Las deformaciones elásticas son pequeñas en
relación al espesor de la cáscara.
• La normal a la superficie media se
mantiene tras la deformación.
• Se podrán despreciar lastensiones
normales perpendiculares a la sup. media.

Teoría General de Cáscaras
Teoría de las Superficies
Los arcos diferenciales dSx y dSy
corresponden a las longitudes del
elemento diferencial en coordenadas
curvilíneas ortogonales.

1

S
n1
y

dS

t1

P

r

Ed

1

d

1

PQ

1

7

d Sy A2 d

r’x

r’y

r

G d

2

d

2

2

PS

8

R

x1

dS

dSx A1 d

1+d 1

t2

Q

2
2+d 2

A12

F

r

r
1

9

2

2

Donde E, F y G son los coeficientes de la Primera Forma
Fundamental de la Teoría de las Superficies

Teoría General de Cáscaras
Teoría de las Superficies
Dada una curva, sobre una superficie
La derivada de la long de arco:

Primera forma fundamental
de Teoria de Superficies

Teoría Generalde Cáscaras
Teoría de las Superficies
La curvatura total (χγ)
de una curva γ(t)
puede ser
descompuesta entre la
curvatura medible
desde la superficie,
llamada curvatura
normal (kn) y la
curvatura no medible
desde la superficie,
llamada curvatura
tangencial o
geodésica (kg).

K= Kn + Kg

Curvatura Normal
Dada una curva C contenida en la superficie S, de vector de curvatura k
enun punto P de la misma, se llama curvatura normal de C en el punto P,
Kn, a la proyección del vector k sobre el vector normal N a la superficie en P.

El vector curvatura de C en un
punto dado se define como :

y el vector tangente:

En definitiva, es:

Teoría General de Cáscaras
Teoría de las Superficies

d s '2 d s 2
d s1

d w2
1

,

2

d

d

1

A2 d

2

2

1A1

2

A1 d
A1

A1

d

2

1

d

1

A1 d

1
A2

2

radios de curvaturas geodesi cos

1

1
x

A2

d w2
d S2

1
A1 A2

A1

11

1

12
=y

13

dS'1 - dS1

S

Q

1

14

2

dS 2

1

2

1
A1 A2

d

2

dS

1

y

d w1
d S1

A1

'1
dS

1

10

2

R
1

1

d

1

1

2

A2 d

A2

dS
'2

d s '1 ds1
d s2

d w1

A2

A2

2

P
2

dw1

1

dw2

=x

Teoría General de Cáscaras
La segunda forma fundamental de la teoría de superficies permite
encontrar el valor de la curvatura normal de la superficie,en dirección
de cualquier curva ubicada sobre ella

xn

1
rn

2
1
2
1

Ld
Ed

2M · d 1·d
2 F ·d 1·d

Nd
G d

2
2

2
2
2
2

15

1=

donde :
n1L

r2

·

1

n1

N
1
2

F

r

1· r

16

r

1

P

r2

·

2

M

n1

r

2

r2 (

1,

1

17

1

n1

r2

n1

1

·

1

2

r
2

·
1

r

·

r2
2

19
2

18

2=

Cte

2)

Cte

Teoría General de Cáscaras
Formulación de las ecuaciones de equilibrio
Se desprecian las tensiones normal

z y las tangenciales zx yzy

Teoría General de Cáscaras
Cara 1= cte

Cara 2= cte

I

Teoría General de Cáscaras

Teoría General de Cáscaras
I
Los esfuerzos y momentos
se pueden
reducir en forma vectorial poniendo:
»

(resultante en
(resultante en

= cte)
1 = cte)

2

(resultante en

2 = cte)

(resultante en

1 = cte)

• Siendo la resultante de las fuerzas externas:
(resultante de...