teoría de colas

TEORÍA DE COLAS
UNA COLA, UN SERVIDOR

Medidas del desempeño del
sistema de colas
1. Número esperado
cola Lq
2. Número esperado
sistema Ls
3. Tiempo esperado
cola Wq
4. Tiempo esperado
sistema Ws

de clientes en la
de clientes en el
de espera en la

de espera en el

Medidas del desempeño del sistema de
colas: fórmulas generales

Ws  Wq 

1



Ls  Ws
Lq  Wq
Ls  Lq 


Medidas del desempeño del
sistema de colas: ejemplo
• Suponga una estación de gasolina a
la cual llegan en promedio 45 clientes
por hora
• Se tiene capacidad para atender en
promedio a 60 clientes por hora
• Se sabe que los clientes esperan en
promedio 3 minutos en la cola

Medidas del desempeño del
sistema de colas: ejemplo
• La tasa media de llegadas  es 45clientes por hora o 45/60 = 0.75
clientes por minuto
• La tasa media de servicio  es 60
clientes por hora o 60/60 = 1 cliente
por minuto

Medidas del desempeño del
sistema de colas: ejemplo

Wq  3 min
1

1
Ws  Wq   3   4 min

1
Ls  Ws  0.75  4  3 clientes
Lq  Wq  0.75  3  2.25 clientes

Medidas del desempeño del
sistema de colas: ejercicio
• Suponga unrestaurant de comidas
rápidas al cual llegan en promedio
100 clientes por hora
• Se tiene capacidad para atender en
promedio a 150 clientes por hora
• Se sabe que los clientes esperan en
promedio 2 minutos en la cola
• Calcule las medidas de desempeño
del sistema

Probabilidades como medidas del
desempeño

• Beneficios:
–Permiten evaluar escenarios
–Permite establecer metas
• Notación:– Pn : probabilidad de tener n clientes
en el sistema
– P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un
cliente no espere en el sistema más
de t horas

Factor de utilización del sistema
• Dada la tasa media de llegadas  y la
tasa media de servicio , se define el
factor de utilización del sistema .
• Generalmente se requiere que  < 1
• Su fórmula, con un servidor y con s
servidores,respectivamente, es:







s

Factor de utilización del sistema ejemplo
• Con base en los datos del ejemplo
anterior,  = 0.75,  = 1
• El factor de utilización del sistema si
se mantuviera un servidor es
 = / = 0.75/1 = 0.75 = 75%
• Con dos servidores (s = 2):
 = /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%

Modelos de una cola y un servidor
• M/M/1: Un servidor con llegadas dePoisson y
tiempos de servicio exponenciales
• M/G/1: Un servidor con tiempos entre
llegadas exponenciales y una distribución
general de tiempos de servicio
• M/D/1: Un servidor con tiempos entre
llegadas exponenciales y una distribución
degenerada de tiempos de servicio
• M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre
llegadas exponenciales y una distribución
Erlang de tiempos de servicioModelo M/M/1
Ls 




Lq 
 (   )

Wq 
 (   )
2



1
Ws 
 
Pn  (1   ) 
P(Ws  t )  e

n

  (1  ) t

P( Ls  n)  

n 1

P(Wq  t )  e

t  0,   1

  (1  ) t

Modelo M/M/1: ejemplo
• Un Carwash puede atender un auto cada
5 minutos y la tasa media de llegadas es
de 9 autos por hora
• Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdocon el modelo M/M/1
• Además la probabilidad de tener 0
clientes en el sistema, la probabilidad de
tener una cola de más de 3 clientes y la
probabilidad de esperar más de 30 min.
en la cola y en el sistema

Modelo M/M/1: ejemplo
9
  9,   12,    0.75
12
Ls 




 3 clientes

2
Lq 
 2.25 clientes
 (   )

1
Ws 
 0.33 hrs  20 min
 


Wq 
0.25 hrs  15 min
 (   )
P0  (1   )  0  0.25

P( Ls  3)   31  0.32

P (Ws  30 / 60)  e   (1  ) t  0.22
P (Wq  30 / 60)  e   (1  )t  0.17

Modelo M/M/1: ejercicio
• A un supermercado llegan en promedio 80
clientes por hora que son atendidos entre
sus 5 cajas.
• Cada caja puede atender en promedio a
un cliente cada 3 minutos
• Obtenga las medidas de...