Teoría de Colas

Ejercicios de Teor´ıa de Colas
Investigaci´on Operativa
Ingenier´ıa Inform´atica, UC3M
Curso 08/09

1. Demuestra que en una cola M/M/1 se tiene:
ρ
.
1−ρ

L=
Soluci´on.
∞

npn

L=
n=0
∞

nρn (1 − ρ)

=
n=0
∞

∞
n

nρn+1

nρ −

=
n=0
∞

n=0

ρn

=

n=1
∞

ρn

=ρ
n=0

=

ρ
.
1−ρ

2. Demuestra que en una cola M/M/1 se tiene:
Lq =
Soluci´on.Lq = λWq = λ

ρ2
.
1−ρ

ρ
ρ2
=
.
µ(1 − ρ)
1−ρ

3. En un servidor de la universidad se mandan programas de ordenador para ser ejecutados. Los programas llegan al servidor con una tasa de 10 por minuto. El tiempo medio de ejecuci´on de cada programa
es de 5 segundos y tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de ejecuci´on se distribuyen exponencialmente.
a) ¿Qu´e proporci´onde tiempo est´a el servidor desocupado?
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b) ¿Cu´al es el tiempo esperado total de salida de un programa?
c) ¿Cu´al es el n´umero medio de programas esperando en la cola del sistema?
Soluci´on. El sistema es M/M/1 con λ = 10 trabajos por minuto y µ = 12 trabajos por minuto. Se
asumir´a que el sistema es abierto y que la capacidad es infinita. Como ρ = 10/12 < 1, el sistema
alcanzar´a elestado estacionario y se pueden usar las f´ormulas obtenidas en clase.
a) El servidor estar´a desocupado 1 − 5/6 = 1/6 del total, esto es, 10 segundos cada minuto (ya
que el ordenador est´a ocupado 5 × 10 = 50 segundos por minuto).
b) Tiempo medio total es W =

1
µ(1−ρ)

=

1
12(1−5/6)

= 1/2 minuto por programa.

c) El n´umero medio de programas esperando en la cola es Lq =

ρ21−ρ

= 4.16 trabajos.

4. La ventanilla de un banco realiza las transacciones en un tiempo medio de 2 minutos. los clientes
llegan con una tasa media de 20 clientes a la hora. Si se supone que las llegadas siguen un proceso de
Poisson y el tiempo de servicio es exponencial, determina
a) El porcentaje de tiempo en el que el cajero est´a desocupado.
b) El tiempo medio de estancia de losclientes en la cola.
c) La fracci´on de clientes que deben esperar en la cola.
Soluci´on. Sistema M/M/1 con λ = 20 y µ = 30.
a) P (cajero ocioso) = p0 = 1 − ρ = 1/3. El 33 % de tiempo el cajero est´a ocioso.
b) Wq = 1/15 = 4 minutos.
c) L = 2, Lq = 4/3, por tanto la fracci´on de clientes que deben esperar en la cola es Lq /L =
2/3 ≡ 66.6 %.
5. Una tienda de alimentaci´on es atendida por unapersona. Aparentemente el patr´on de llegadas de
clientes durante los s´abados se comporta siguiendo un proceso de Poisson con una tasa de llegadas de
10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO y debido al prestigio
de la tienda, una vez que llegan est´an dispuestos a esperar el servicio. Se estima que el tiempo que
se tarda en atender a un cliente se distribuyeexponencialmente, con un tiempo medio de 4 minutos.
Determina:
a) La probabilidad de que haya l´ınea de espera.
b) La longitud media de la l´ınea de espera.
c) El tiempo medio que un cliente permanece en cola.
Soluci´on. Sistema M/M/1 con λ = 10 y µ = 15.
a) P (l´ınea de espera) = 1 − p0 − p1 = 4/9.
b) Lq = 4/3 personas en cola.
c) Wq = 2/15 horas = 8 minutos de media en cola.

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6.En una f´abrica existe una oficina de la Seguridad Social a la que los obreros tienen acceso durante
las horas de trabajo. El jefe de personal, que ha observado la afluencia de obreros a la ventanilla,
ha solicitado que se haga un estudio relativo al funcionamiento de este servicio. Se designa a un
especialista para que determine el tiempo medio de espera de los obreros en la cola y laduraci´on
media de la conversaci´on que cada uno mantiene con el empleado de la ventanilla. Este analista
llega a la conclusi´on de que durante la primera y la u´ ltima media hora de la jornada la afluencia es
muy reducida y fluctuante, pero que durante el resto de la jornada el fen´omeno se puede considerar
estacionario. Del an´alisis de 100 periodos de 5 minutos, sucesivos o no, pero situados...