Teoría De Conjuntos 2

OPERACIONES
CON CONJUNTOS
MATEMÁTICAS
I. E. S. O. AC

UNIÓN
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los
elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno
y se denota como A ∪ B . Esto es:

A∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
Gráficamente:

Ejemplo.
A = {mango, ciruela, uva, naranja, sandía }
B = {durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano }
A∪ B ={mango, ciruela, uva,naranja, sandía ,durazno, melón,
plátano }

UNIÓN
La unión de conjuntos, tiene las siguientes propiedades:

1. A  A = A
2. A  B = B  A
3. A  Φ = A
4. A  U = U
5. (A  B)  C =A (B  C)

6. Si A  B=Φ

entonces

A=Φ

ó B=Φ

INTERSECCIÓN
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los
elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A∩
B.
Esto es:
A ∩ B = { x | x∈ A ∧ x∈ B }
Gráficamente:

Ejemplo.
A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía }
B = {durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano }
A∩ B = { uva, naranja, sandía }

INTERSECCIÓN
La intersección tiene las siguientes propiedades:

1. A  A = A
2. A  B = B  A

3. A  Φ = Φ
4. A  U = A
5. (AB) C =A (BC)
6. A (BC) =(A  B) (A  C)
A (B  C) =(AB) (AC)

DIFERENCIA
La diferencia delos conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto
de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se
denota como A- B .
Esto es:
A-B={x|x∈A∧x∈B}
Gráficamente:

Ejemplo.
A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía }
B = {durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano }
A - B = {mango, ciruela, manzana }
B - A = {durazno, melón, plátano }

DIFERENCIA
Se puede advertir como A − B ≠ B− A .
Del diagrama de Venn anterior se deducen las siguientes
expresiones:
A − B = A ∩ B'
A − B = f, sí y sólo sí : A ⊂ B
A − B = B − A, sí y sólo sí : A = B
A − B = A, sí y sólo sí : A∩ B = f
(A − B) ⊂ A
A−f=A
A − B = B' − A'
Los conjuntos A−B, A∩ B, B − A son mutuamente ajenos (su
intersección es el conjunto vacío).

COMPLEMENTO
El complemento del conjunto A con respecto al conjunto
universal Ues el conjunto de todos los elementos de U que no
están en A y se denota como A' .
Esto es:
A' =Ac = { x ∈ U x ∉ A}
Gráficamente:

COMPLEMENTO
Ejemplo.
U = {mango, kiwi, ciruela, uva, pera, naranja, cereza, manzana,
sandía, durazno, limón, melón, plátano}
A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía }
A' = {kiwi, pera, cereza, durazno, limón, melón, plátano }
En este ejemplo se puede notarcomo h(A)+ h(A' ) = h(U )
De esta definición, se puede advertir que se cumplen las
siguientes expresiones:

(A' )' = A
f'=U
U'=f

COMPLEMENTO
De acuerdo con las definiciones de unión, complemento y
diferencia, se puede establecer que sus respectivas
cardinalidades se pueden obtener a través de:

h(A ∪ B) = h(A)+ h(B)- h(A ∩ B)
h(A' ) = h(U )- h(A)
h(A - B) = h(A)- h(A ∩ B)

PROPIEDADES DE
LOSCONJUNTOS
MATEMÁTICAS
I. E. S. O. AC

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
Sean los conjuntos A, B, C dentro del universo U . Las seis
propiedades que rigen las operaciones con esos conjuntos son las
siguientes:

1. Propiedades de identidad:
A∪ f = A
A∪U =U
A∩U = A
A∩f = f
2. Propiedades de idempotencia:
A∪ A = A
A∩ A = A
3. Propiedades de complemento:
A∪ A' =U
A∩ A' = f

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
Seanlos conjuntos A, B, C dentro del universo U . Las seis
propiedades que rigen las operaciones con esos conjuntos son las
siguientes:

4. Propiedades asociativas:
(A∪ B)∪C = A∪ (B ∪C)
(A∩ B)∩C = A∩ (B ∩C)

5. Propiedades conmutativas
A∪ B = B ∪ A
A∩ B = B ∩ A
6. Propiedades distributivas
A∪ (B ∩C) = (A∪ B)∩(A∪C)
A∩(B ∪C)= (A∩ B)∪(A∩C)

LEYES DE D'MORGAN
Estas leyes establecen los complementos de launión e
intersección entre conjuntos:
Primera ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la
intersección de sus complementos.
(A ∪ B)' = A'∩B'
En el diagrama de la
izquierda, A∪ B viene dada
por la región en blanco y (A
∪ B)' está representado por
el
área
sombreada
verticalmente. Por su parte
en el
diagrama de la
derecha, A' es la región
sombreada horizontalmente, B' es el área...