Teoría De Conjuntos

Teoría de Conjuntos.
Teoría: Conjunto sistematizado de opiniones o ideas sobre un tema determi-nado, no comprobado prácticamente.
Conjunto: Agrupación de un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento. En otras palabras, es la compilación de elementos o números que tienen en común una o varias propiedades que los caracterizan.
En las matemáticas, el conceptode conjunto es considerado arcaico y no se de una definición; sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, por lo se puede decir que igualmente se consideran primitivos los pensamientos de elemento y pertenencia.
La palabra conjunto por lo general la asociamos con la idea de agrupar obje-tos (libros, cuadernos, números, zapatos, etc.), palabras (hato, rebaño, gente,piara, etc.).
“Conjunto” expresa una agrupación de objetos que guardan una característica en común; ya sean animales, personas, ideas, cosas, etc.
Los objetos de un conjunto son llamados “elementos” o “miembros del con-junto”. Es decir, todo conjunto es una agrupación de objetos, más una agru-pación de objetos no puede ser considerada un conjunto.
Para que exista un conjunto, se debe teneren cuenta las siguientes consideraciones:
 Los elementos deben estar bien definidos.
 Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, si alguno de los elementos se repite solo se debe contar sólo una vez.
 El orden de los elementos no es significativo.
 Un elemento puede pertenecer a más de un conjunto.
 La relación de pertenencia, puede ser aplicada tanto a los elementoscomo a un conjunto como tal.
Se puede decir que, la Teoría de Conjunto es:
“La parte de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos y las operaciones a las que puedan ser sometidas”.
A la Teoría de Conjuntos, se la conoce también como “Algebra de Conjun-tos”, ya que a partir de la Teoría de Conjuntas, se dedica al estudio de las características y las relaciones que existenentre varios grupos de objetos y sus estructuras.
Notación.
Se conoce como notación, al sistema de símbolos y signos empleados en una ciencia, arte, etc.
A continuación presentamos el lenguaje de primer orden en el que escribiremos la Teoría de Conjuntos. Puede entenderse de dos maneras distintas:
 Como lenguaje formal, y
 Como abreviaturas de expresiones en español.
En la Teoría de Conjunto,los conjuntos, son representados con letras mayúsculas (A, B, C,…), y a los elementos o miembros del conjunto, son representados con letras minúsculas (a, b, c,…).
Los símbolos del lenguaje formal de la teoría de conjuntos serán:
 El símbolo de la relación de pertenencia entre conjuntos es ∈.
 Los símbolos lógicos de la lógica de predicados: ¬ (negación), ∧ (conjunción), ∨ (disyunción), →(implicación), ↔ (equivalencia), ∀ (cuantificador universal), ∃ (cuantificador existencial) y ( ) (parénte-sis).
Con estos signos básicos se generan todas las fórmulas de la teoría de con-juntos.
Las reglas de formación de fórmulas son las habituales en la lógica de primer orden. A saber:
1. x ∈ y , x = y son fórmulas. Para cualesquiera variables x, y.
2. Si ϕ y ψ son fórmulas, también lo son:¬ϕ, ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ, ϕ → ψ y ϕ ↔ ψ
3. Si ϕ es una fórmula, ∀x ϕ y ∃x ϕ también lo son
De acuerdo a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, se pueden clasificar en:
 Conjuntos Finitos: Son los que tienen un número determinado de elementos.
 Conjuntos Infinitos: Son aquellos que no tienen fin, es decir, aquellos a los que no se les puede determinar la cantidad o longitud.
Existen dosmaneras de expresar un conjunto. La selección de expresarlo depende de la conveniencia y de las circunstancias.
Las formas de expresar un conjunto son:
Extensión: Llamados también tabular o enumeración. Es cuando se descri-ben o identifican a cada uno de los elementos. En otras palabras, cuando se detallan los elementos de conjunto.
Ej. : A=a, b, c, d, e
Comprensión: Es cuando se enuncian las...