Teoría De Galois Por José Antonio Belinchón

Teoría de Galois
por José Antonio Belinchón Última actualización Julio 2008

II

Índice general
. Prólogo 1. Anillos y cuerpos 1.1. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Dominios defactorización única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Anillo de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Extensiones de cuerpos 2.1. Extensiones finitas . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Extensiones algebraicas y transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Teoría de Galois 3.1. El cuerpo de descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. El cuerpo de descomposición de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Extensiones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Extensiones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. El grupo de Galois . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. El Teorema Fundamental de la Teoria de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Teoremas de Dedekind y Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Teorema Fundamental de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ejercicios. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Cuerpo de descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Extensiones Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I III

1 1 6 9 11 12 35 35 38 43 57 57 57 58 58 59 60 60 60 63 64 72

IIÍNDICE GENERAL
3.3.3. Grupo de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 97 97 98 99 99

4. Aplicaciones 4.1. Ecuaciones y grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Polinomios ciclotómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2.Extensiones cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.4. Grupos y ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Prólogo
La idea fundamental de esta notas confecionadas a modo deresumen (personal) es la de tener a mano un recordatorio de por donde iban los tiros. Sólo se demuestran los teoremas fundamentales y se acompoña el texto con una serie de ejercios más o menos trabajados. En modo alguno pretenden sustituir (porque es implosible) los manuales clásicos o las notas de clase de un profesor. Es decir, estas notas estan confeccionadas a modo de refrito entre las notas declase y de distintos libros clásicos como los siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. Ian Stewart. Galois Theory. Chapman & Hall. 2004. J. M. Howie. Fields and Galois Theory. Springer. 2006. T.S. Blyth and E.F. Robertson. Algebra through the practice. Cambridge University Press 2001. J. B. Fraleigh. Álgebra Abstracta. Addison-Wesley. 1987. S. Xambó et al. Introducción al Álgebra, I, II, III. UCM (1993) U....