Teoría de Grafos - anonymous

Teoría de Grafos

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Teoría de grafos
En matemáticas y en ciencias de la computación, la
teoría de grafos (también llamada teoría de las
gráficas) estudia las propiedades de los grafos
(también llamadasgráficas). Un grafo es un
conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o
nodos) y una selección de pares de vértices,
llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser
orientados o no. Típicamente, un grafo se representa
mediante una serie de puntos (los vértices)
conectados por líneas (las aristas).
Diagrama de un grafo con 6 vértices y 7 aristas.

Historia
El trabajo de Leonhard Euler, en 1736,sobre el problema de los
puentes de Königsberg es considerado el primer resultado de la teoría
de grafos. También se considera uno de los primeros resultados
topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este
ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la
topología.
En 1845 Gustav Kirchhoff publicó sus leyes de los circuitos para
calcular el voltaje y lacorriente en los circuitos eléctricos.
En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores que
Puentes de Königsberg.
plantea si es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear
cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca
tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang
Haken, puede ser consideradocomo el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos
definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.

Estructuras de datos en la representación de grafos
Existen diferentes formas de almacenar grafos en una computadora. La estructura de datos usada depende de las
características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre lasestructuras más sencillas y usadas se
encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son
preferidas en grafos dispersos porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen
acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.

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Estructura de lista
• lista de incidencia - Las aristas sonrepresentadas con un vector de pares (ordenados, si el grafo es dirigido),
donde cada par representa una de las aristas.[1]
• lista de adyacencia - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa
redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las
búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamientoextra.
En esta estructura de datos la idea es asociar a cada vertice i del grafo una lista que contenga todos aquellos vértices j
que sean adyacentes a él. De esta forma sólo reservará memoria para los arcos adyacentes a i y no para todos los
posibles arcos que pudieran tener como origen i. El grafo, por tanto, se representa por medio de un vector de n
componentes (si |V|=n) donde cada componente va aser una lista de adyacencia correspondiente a cada uno de los
vértices del grafo. Cada elemento de la lista consta de un campo indicando el vértice adyacente. En caso de que el
grafo sea etiquetado, habrá que añadir un segundo campo para mostrar el valor de la etiqueta.
Ejemplo

de

lista

de

adyacencia

Estructuras matriciales
• Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz deA (aristas) por V (vértices), donde [arista,
vértice] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado)
• Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño
número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento
contrario, es 0.

, donde

es el

es 1, de lo

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Definiciones
Vértice...