Teoría De Números - Dudley

Teor´ Elemental de N´meros
ıa
u
Francisco Javier Garc´ Capit´n
ıa
a
Problemas del libro Elementary Number Theory, de Underwood Dudley.

´
Indice
1. Enteros

2

2. Factorizaci´n unica
o´

6

3. Ecuaciones diof´nticas lineales
a

9

4. Congruencias

14

5. Congruencias lineales

18

6. Los teoremas de Fermat y Wilson

27

7. Los divisores de un entero

33

8.N´ meros perfectos
u

39

9. El teorema y la funci´n de Euler
o

45

10.Ra´
ıces primitivas

50

11.Congruencias cuadr´ticas
a

56

12.Reciprocidad cuadr´tica
a

63

1.

Enteros

1. Calcular (314,159) y (4144, 7696).
314 =1 · 159 + 155
159 =1 · 155 + 4
155 =38 · 4 + 3
4 =1 · 3 + 1
3 =3 · 1
(314, 159) = (159, 155) = (155, 4) = (4, 3) = (3, 1) = 1.
4144 =0 ·7696 + 4144
7696 =1 · 4144 + 3552
4144 =1 · 3552 + 592
3552 =6 · 592
(4144, 7696) = (7696, 4144) = (4144, 3552) = (3552, 592) = 592.
2. Calcular (3141,1592) y (10001, 1000083).
3141 =1 · 1592 + 1549
1592 =1 · 1549 + 43
1549 =36 · 43 + 1
43 =43 · 1
(3141, 1592) = (1592, 1549) = (1549, 43) = (43, 1) = 1.
100083 =10 · 10001 + 73
10001 =137 · 73
(100083, 10001) = (10001, 73) = 73.
3.Encontrar x e y tales que 314x + 159y = 1.
314 = 1 · 159 + 155 ⇒ 155 = 1 · 314 + (−1) · 159
159 = 1 · 155 + 4 ⇒ 4 = (−1) · 314 + 2 · 159
155 = 38 · 4 + 3 ⇒ 3 = 39 · 314 + (−77) · 159
4 = 1 · 3 + 1 ⇒ 1 = (−40) · 314 + 79 · 159
2

4. Encontrar x e y tales que 4144x + 7696y = 1.
7696 = 1 · 4144 + 3552 ⇒ 3552 = 1 · 7696 + (−1) · 4144
4144 = 1 · 3552 + 592 ⇒ 592 = (−1) · 7696 + 2 · 4144
5. Si N =abc + 1, demostrar que (N, a) = (N, b) = (N, c) = 1.
Si d es un divisor positivo de N y de a, entonces tambi´n lo ser´ de
e
a
N − abc = 1, por lo que d = 1.
6. Encontrar dos soluciones diferentes de 299x + 247y = 13.
Simplificando por 13, la ecuaci´n es equivalente a 23x + 19y = 1. Los
o
primeros diez m´ltiplos de 23 y 19 son:
u
23: 23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207, 230,
19: 19,38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190.
Observando los n´meros 115 y 114 obtenemos que 23 · 5 + 247 · (−6) =
u
1, de donde obtenemos x = 5, y = −6. Para encontrar otra soluci´n
o
hallamos otros diez m´ltiplos de 23 y 19:
u
23: 253, 276, 299, 322, 345, 368, 391, 414, 437, 460
19: 209, 228, 247, 266, 285, 304, 323, 342, 361, 380
Vemos entonces que 23 · 14 = 322 y que 19 · 17 = 323. Portanto, otra
soluci´n ser´ x = −14, y = 17.
o
ıa
7. Demostrar que si a|b y b|a entonces a = b o a = −b.
Si a|b y b|a entonces existen enteros k y h tales que b = ka y a = hb.
Si uno de los n´meros a y b es cero, tambi´n lo es el otro, y entonces
u
e
tenemos a = b. En otro caso, como b = ka = khb, tendremos kh = 1,
de donde o k = h = 1 o k = h = −1 que llevan respectivamente a a = b
y a = −b.8. Demostrar que si a|b y a > 0, entonces (a, b) = a.
Que (a, b) = a equivale a decir que a|a, a|b y que si c|a y c|b, entonces
c ≤ a. Que a|a es evidente, que a|b es una de las hip´tesis y, por
o
ultimo, de c|a deducimos que a = kc para alg´n entero k , y como
´
u
a > 0, deducimos que c ≤ a.

3

9. Demostrar que si ((a, b), b) = (a, b).
Podemos usar el ejercicio anterior y tener encuenta que (a, b)|b y
(a, b) > 0. Por tanto, ((a, b), b) = (a, b).
10.

a ) Demostrar que (n, n + 1) = 1 para todo n > 1.
b ) Si n > 0, ¿cu´nto puede valer (n, n + 2)?
a
a ) Sea d un divisor positivo de n y n + 1. Entonces tambi´n lo ser´ de
e
a
(n + 1) − n = 1, por lo que d = 1.
b ) Sea d un divisor positivo de n y n + 2. Entonces tambi´n lo ser´ de
e
a
(n + 2) − n = 2, por lo qued = 1 ´ d = 2.
o

11.

a ) Demostrar que (k, n + k ) = 1 si y solo si (k, n) = 1.
b ) ¿Es cierto que (k, n + k ) = d si y solo si (k, n) = d?
a ) Supongamos que (k, n + k ) = 1 y sea d un divisor positivo de
n y k . Entonces podremos expresar k = du, n = dv y k + n =
du + dv = d(u + v ), por lo que d es un divisor positivo de k y n + k
y debe ser 1. Rec´
ıprocamente y de forma...