Teoría electromagnética


Trabajo de Teoría Electromagnética- Ondas planas y campos estáticos.

Una onda es una propagación de una perturbación de alguna propiedad de un medio, existen varias clases de onda, en esta ocasión se explicaran y estudiaran las ondas planas.

Una onda plana, es aquella para la cual los campos E y H (Densidad e intensidad de campo eléctrico) se propagan en una única dirección, dichoscampos poseen valores constantes en cualquier instante de tiempo.





Los campos E y H satisfacen, respectivamente las ecuaciones diferenciales:
= 0
= 0

Las ondas planas, se pueden propagar en medios con pérdida o sin pérdida.
1. En medio sin perdida, es decir donde , los campos E y H, toman la forma
= 0
= 0
Entonces, se puede probar que, las soluciones a las ecuaciones antesmencionadas, son:
E = Eo
H = Ho .
La función de onda, que se toma para el estudio, es la parte real de dichas ecuaciones, la cual es:
E = Eo cos
H = Ho cos .
Por último, se puede verificar que
k.E = 0; k.H = 0; k E =H y k H =-

Las anteriores relaciones, nos hacen comprobar que los campos H, E y el vector de propagación K, son perpendiculares entre sí.

2. En medio con perdida, es decirdonde , los campos E y H, toman la forma:
Ec =Eo
Hc =Ho

De la misma manera, se trabaja solo con la parte real de dichos campos, y se tomas de la siguiente manera:
Ec =Eo
Hc =Ho

Las ondas planas pueden incidir de forma normal u oblicua en una superficie.
En la incidencia normal, la Onda plana incide en la frontera, en la misma dirección de propagación, mientras en la oblicua, laonda no se propaga en dirección normal, entonces se formaría un ángulo con la frontera.

En el cado de incidencia normal, se puede trabajar con la ecuación onda, utilizando las siguientes ecuaciones para hallar los valores determinados.
(1)
(2)

(3)

=







En incidencia oblicua, se pueden utilizar las siguientes ecuaciones
r = i








Ejercicios
15. Suponga queel filamento de un cable coaxial tiene un radio de 1mm y la cubierta de 4mm.EL eje longitudinal del cable se encuentra en el eje z y en la región es un dieléctrico con pérdidas de permitividad relativa 2.25 y conductividad 2.5. a) calcule capacitancia del cable y la resistencia por cada 10M de longitud. b) suponga que el filamento se mantiene a un potencial de 100V y la cubierta se aterriza atierra. Calcule la densidad de carga inducida en la cubierta. Con el potencial anterior calcule la potencia que se disipa en 10M de cable debido a la fuga a través del dieléctrico.

a)

Primero calculamos el campo eléctrico producido por el cable.



Segundo, hallamos el potencial eléctrico:




Por último, hallamos la capacitancia:




Sabemos que:



b)

Aplicando laecuación de Laplace y teniendo en cuenta que los únicos campos que prevalecen están en dirección radial, encontramos que:

Integramos de ambos lados:

Siendo tanto C como d, un par de constantes, las cuales hallamos por las siguientes condiciones de frontera:




Ahora hacemos la diferencia entre las dos ecuaciones, es decir, (1)-(2):


Ahora, teniendo en cuenta que , entonces:

En laecuación (2) reemplazamos a C y encontramos que:


Por ende,


Calculando el campo encontramos:


En el interior del cable la densidad es:


Y en el exterior:


c)

16. Una esfera hueca cuya permitividad relativa es de 2,25, cuyos radios interno y externo son respectivamente 0,10m y 0,20m tiene una densidad volumétrica de carga uniforme ρ. El resto del espacio es aire. Halle elpotencial en cualquier punto ubicado a una distancia r de la esfera, en función de r. Resuelva el ejercicio usando la ecuación de Laplace y la de Poisson. Dé su respuesta en función de r y de ρ.

Figura 2(a). Interior del cascarón Figura 2(b). Planteamiento del problema
Partiendo de la ecuación de Laplace aplicado a coordenadas esféricas se tiene:

Se puede...