teoría sobre angulos formados por lineas notables

INFORME-TEOREMA DE ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES
1. ANGULO FORMADO POR UNA BISECTRIS INTERIOR Y UNA EXTERIOR
En todo triángulo, la medida del ánguloformado por la bisectriz interior de un ángulo y la bisectriz exterior de otro ángulo es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo.
Demostración:Proposiciones
Razones
2ω=2α+β » 2(ω-α)=β » ω-α=
①
Ángulo externo en ∆ABC.
Despejamos ω-α.
ω=α+x » ω-α=x ②
Ángulo externo en ∆ABD
X=
Reemplazamos ① en ②Ejemplo:
Hallar el valor de x







2. ANGULO FORMADO POR UNA BISECTRIZ INTERIOR Y LA ALTURA
En todo triángulo, la medida del ángulo formado porla bisectriz interior y la altura, trazada desde un mismo vértice, es igual a la semidiferencia de la medida de los otros dos ángulos.
Demostración:Proposiciones
Razones
En ∆BHD: En ∆AHB:
x+ω+β= 90° ① α+ω-x= 90° ②
Por ser altura, BH _|_ AD. Suma de ángulos complementarios.x+ωβ=α+ω-x
2x=α-β
Igualamos ① con ② y operamos.
x=
Despejamos x.



Ejemplo:







3. ANGULO FORMADO POR DOS ALTURAS
En todo triángulo, lamedida del ángulo formado por dos alturas es igual al suplemento del tercer ángulo del triángulo.
Demostración:
Proposiciones
Razones
En ∆ ADH: x=90° + θ ①Ángulo externo de AĤD.
En ∆ABE: θ+α=90°θ=90°-α ②
Ángulos complementarios.
x=90°+θx=90°+90°-α
x=180°-α
Reemplazamos ② en ① y operamos.
Ejemplo:FICHA DE EJERCICIOS -TEOREMA DE ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES
NOMBRE:

1) Hallar x










2)
3)