Teorías De Conjuntos

Teorías de Conjuntos:
Concepto básico:
Conjunto
Es una agrupación, clase o colección de objetos denominados
Elementos del conjunto
(Aunque cualquier definición dada esconde implícitamente paradojaslógicas o contradicciones).

Por objeto entenderemos no sólo entes físicos, como mesas, sillas, etc., sino también entes abstractos, como son números, letras, etc. La
Relación de pertenencia
Entre loselementos y los conjuntos siempre es perfectamente discernible, en otras palabras, si un objeto pertenece a un conjunto o no, siempre puede calificarse como verdadero o falso.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se considerenprimitivas las ideas de elemento y pertenencia.


Determinación de un conjunto
Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por comprensión.

Determinación de un conjunto por extensión Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos

.Ejemplo. - El conjunto de los números naturales menores que 9.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}

Determinaciónde un conjunto por comprensión



Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos. Ejemplo.

Por comprensión: (una posible respuesta sería)
D = {x/"x" es un día de la semana}
Se lee:
"El conjunto D está formado por todos los elementos "x" que satisfacen la condición de ser un día de la semana".
Otra posible respuesta sería:
"Des el conjunto constituido por todos los elementos "x" tal que X es un día de la semana





Inclusión de conjuntos.


Concepto
Sean A y B dos conjuntos, si cada elemento de A es elemento de B diremos que A está incluido en B, o bien que A es parte de B, o que A es un subconjunto de B, y lo escribimos A " B.
A menudo será necesario demostrar que un conjunto es parte de otro entonces, de acuerdoa la definición, será suficiente demostrar que cualquier elemento del primero pertenece al segundo.
Asimismo, teniendo en cuenta la equivalencia entre una implicación y la contrarecíproca, la definición anterior puede expresarse así:
A " B ! " x : x " B ! x " A
Además, considerando la equivalencia entre p ! q y ~( p " ~q ), podemos traducir la misma definición como sigue:
A " B ! " x / x " A " x "B es (F)
Sobreentendiendo el cuantificador universal, escribiremos
A " B ! x " A ! x " B
En el dibujo de arriba vemos que, efectivamente, el elemento a es parte del conjunto A y lo es, a su vez, del conjunto B. Podemos afirmar, entonces, que A " B. Ahora bien, vemos que b está incluido en B pero no en A. Decimos, entonces que un conjunto A está estrictamente incluido en B si todo elemento de Aestá incluido en B, pero existe al menos un elemento de B que no existe en A.
Ejemplo.
Sean los conjuntos:
A = { libros de matemática de mi colección }
B = { Libros de mi colección }
Está claro que los libros de matemática están incluidos en mi colección. Podemos decir, aquí, que A está incluido en B (A " B), es decir que mis libros de matemática son un subconjunto de mi colección de libros.Operaciones de conjuntos.



UNION 

Dados dos o más conjuntos, se define la unión de conjuntos, como el conjunto formado por los elementos de todos los conjuntos. 

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La unión de A y B es {a, b, c, d, e, f, h, j} 

La unión tiene las siguientes propiedades: 

Conmutativa. A unión B = B unión A 
Asociativa. (A unión B) uniónC = A unión (B unión C). 
Distributiva: A unión (B intersección C) = (A unión B) intersección (A unión C) 
Absorción: A unión (A intersección B) = A 
Idempotencia: A unión A = A 
Elemento neutro: A unión conjunto vacío = A 
Dominación: U unión A = U 
Inversa: A unión A' = U 
Inversa de Morgan: (A unión B) ' = A ' intersección B ' 



INTERSECCION 

Dados dos o más conjuntos, se define la...