Teor A De Conjuntos

Matemática Razonada - Aritmética

Propedéutico 2015

TEORÍA DE CONJUNTOS
CONJUNTO
Por ser un vocablo primitivo y evidente, no es posible definir la palabra conjunto, simplemente se
concibe como una colección de objetos llamados elementos del conjunto. Los elementos pueden ser
de naturaleza real o abstracta y tienen características comunes.
Cabe señalar que en matemáticas, conjunto no solamenteabarca pluralidad (varios elementos), si
no también la unidad (un solo elemento) y la nulidad (ningún elemento)
NOTACIÓN
La representación de un conjunto se realiza utilizando llaves { }, y en su interior se nombran sus
elementos, o se enuncia las propiedades comunes que los caracterizan. Para identificar los
conjuntos se emplean letras mayúsculas y para los elementos se emplea letras minúsculas.DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Un conjunto se puede determinar por extensión o por comprensión.
DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN (FORMA TABULAR)
Un conjunto se determina por extensión o de forma tabular, nombrando individualmente sus
elementos. Ejemplos:
1.

Determinemos por extensión el conjunto de las vocales:
A = { a, e, i, o, u }

2. Determinemos por extensión, el conjunto de los números naturales de unacifra:
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN O FORMA CONSTRUCTIVA
Un conjunto se determina por comprensión o de forma constructiva, enunciando la propiedad
común que caracteriza a todos los elementos del conjunto considerado. La propiedad debe ser tal,
que cada elemento que pertenezca al conjunto, debe poseerla y todo elemento que tenga dicha
propiedad, debe pertenecer alconjunto.
Ejemplos:
1.

Determinemos por comprensión las vocales. Para ello, designemos con “x” a cada uno de ellas,
entonces el conjunto estará formado por los elementos “x”; en seguida describimos “x”. Así:
A = {x/x es una vocal}
Se lee: El conjunto A está formado por los elementos x, tal que x es una vocal.

2. Determinemos por comprensión el conjunto de los números naturales de una cifra.
B ={x/x є N Λ x < 10 }
Se lee B es el conjunto de los elementos x, tal que es un número natural menor que 10.
OBSERVACIONES


Cuando un conjunto tiene numerosos elementos y no es posible nombrar cada uno de ellos
dentro de la llave, entonces se nombran los primeros elementos y el último.

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Por ejemplo: A = {1, 2, 3, 4,.... , 2 000} ó en todo caso se determina por comprensión:
A = {x/x es un entero positivo no mayor de 2 000}


No todos los conjuntos se pueden determinar por extensión: como por ejemplo, el conjunto de
los números reales comprendidos entre 1 y 10, ya que hay infinitos elementos y ni siquiera
podemos identificar el primero de ellos; en tales casos, sólo se puede determinar por
comprensión.

RELACIÓNDE PERTENENCIA ()
Es una relación que se establece entre un elemento y un conjunto. Se dice que un elemento
pertenece a un conjunto, si forma parte del conjunto en mención; lo cual se denota por () y en
caso contrario por ().
Ejemplo:

Dado el conjunto A = {0,1,3,5}, se observa:
0A
1A
2A

{1}  A
5A
{3,5}  A

7A
3A
4A

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS
Un conjunto, también se puederepresentar mediante figuras o esquemas. Esta representación se
utiliza para modelar dos o más conjuntos, poniendo de manifiesto la relación existente entre ellos.
Dentro de estas representaciones tenemos: Los diagramas lineales, diagramas de Venn – Euler y
los diagramas de Carrol.
Diagramas Lineales: Es la representación de dos o más conjuntos, utilizando segmentos de recta,
para representar larelación de inclusión entre conjuntos, que se expone más
adelante.
Ejemplo:
Consideremos los conjuntos:
A={Limeños}: B={Peruanos}: C={Argentinos}
D={Bonaerenses} y U={Sudamericanos}
Estos conjuntos se pueden representar mediante los diagramas lineales del siguiente modo:
B

A

C

D

U

Diagrama de Venn – Euler: Se denomina así, al uso de figuras geométricas simples y cerradas,
dentro de los cuales...