TEOR A DE LAS ECUACIONES

TEORÍA DE ECUACIONES
En matemáticas, la teoría de ecuaciones es un conjunto de trabajos cuyo objetivo principal es la resolución de ecuaciones algebraicas o equivalentes. Tal ecuación se escribe del modo siguiente:

Donde X designa la incógnita, Un número que verifica la ecuación se llama raíz o solución.
En este tema se va a estudiar de manera breve un poco de la teoría sobre la resolución deecuaciones de grado superior a dos. Como se irá analizando sobre la marcha, está bastante restringido el tema, pues solamente se refiere a ciertas ecuaciones y a ciertas soluciones, no a todas. Para ello es necesario tener como antecedentes algunos teoremas y la división sintética.
1) TEOREMA DEL RESIDUO: Se utiliza para obtener de manera rápida el residuo de la división de un polinomio entre unbinomio (x - r), sin hacer la división.
TEOREMA DEL RESIDUO
Sea P(x) un polinomio cualquiera. Entonces el residuo que se obtiene de dividir P(x) entre el binomio (x - r) es P(r).
2) TEOREMA DEL FACTOR Y SU RECIPROCO:

TEOREMA DEL FACTOR Y SU RECIPROCO
Sea P(x) un polinomio cualquiera. Si r es raíz de la ecuación racional entera P(x) = 0, entonces (x - r) es factor de P(x). Si (x - r) es factor deP(x) = 0, entonces r es raíz de la ecuación racional entera P(x) = 0.

3) DIVISIÓN SINTETICA

Es un proceso mediante el cual se puede reducir considerablemente el trabajo realizado para encontrar el cociente y el residuo que resultan al dividir un polinomio P(x) entre (x - r). Se deja como ejercicio de clase deducir los pasos de reducción del proceso hasta llegar a la regla misma de la divisiónsintética, la cual es:

REGLA DE LA DIVISIÓN SINTÉTICA
Para dividir el polinomio P(x) entre x - r:
1) Se escriben en el primer renglón los coeficientes de P(x) en el mismo orden que las potencias decrecientes de x. Si falta una de éstas se escribe cero en el lugar que le corresponde.

2) Se sustituye el divisor (x - r) por + r y se escribe también en el primer renglón, a la derecha, separado porel signo.



3) Se vuelve a escribir debajo de él mismo y en la tercera línea, el coeficiente de la mayor potencia de x (el de la izquierda) y se multiplica por r .El producto obtenido se coloca en la segunda línea inmediatamente debajo del coeficiente de x que sigue en orden, se suma con éste y el resultado se escribe en la tercera línea. La suma obtenida se multiplica por r y el producto obtenidose coloca en la segunda línea debajo del coeficiente que sigue en orden y se suma con el mismo. Se continúa con el procedimiento hasta obtener un producto que se suma al término constante.

4) El último número de la tercera línea es el residuo y los otros, leídos de izquierda a derecha, son los coeficientes del cociente, cuyo grado es siempre menor en uno que el grado de P(x).


RAICES RACIONALESDE UNA ECUACION RACIONAL ENTERA

El estudio de las ecuaciones al que se refiere este tema, como se dijo al inicio, está bastante restringido, ya que solamente se refiere a ciertas ecuaciones y a ciertas soluciones, no a todas. Una de las limitantes es que las soluciones que se pueden encontrar por el método que un poco más adelante se va a detallar solamente son racionales. El presente método nolocaliza raíces que sean números irracionales o complejos.
Para establecer los pasos a seguir en la localización de raíces en una ecuación polinomial, es necesario introducir dos conceptos.
Sea la ecuación polinomial, a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +… + an-1x + an = 0, es decir, a0 representa el coeficiente de la mayor potencia de x y an representa el coeficiente del término independiente entonces setiene que:

1) POSIBLES RAÍCES: Las posibles raíces racionales de una ecuación racional entera o polinomial tienen como numerador a un factor de an y como denominador a un factor de a0 .
Significa que si la ecuación tiene raíces racionales, serán algunas de las que se enlisten como posibles, ninguna otra.

Ejemplo 1: Enlistar las posibles raíces de la ecuación 2x 4 - 5x 3 - 13x 2 + x + 6 = 0....