Teorema Betti

Carlos Alberto BermúdezMejía

DESARROLLO DEL TEOREMA DE BETTI
Enrico Betti 1972
Para desarrollar el teorema de Betti, consideremos una estructura sujeta a dos conjuntos de
cargas, A y B, como semuestra en la Figura 1.10. Si el conjunto A se aplica a la estructura
primero, entonces la expresión para el trabajo externo realizado es:

Donde el superíndice A indica cantidades del conjunto A. Si elconjunto B se aplica
entonces, con el conjunto A aún actuando sobre la estructura, el trabajo externo hecho será:

Figura 1.10

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El superíndice B indica cantidades del conjunto B. No hayfactor de ½ en el segundo
término debido a que las cargas del conjunto A no generan los desplazamientos
pero sí
realizan un trabajo al experimentar dichos desplazamientos.

Carlos Alberto BermúdezMejíaEl trabajo total realizado sobre la estructura después de aplicar los dos conjuntos de cargas
es:

Si las cargas del conjunto B se aplican a las estructura primero, el trabajo externo realizado
es:Si el conjunto A se aplica después a la estructura, con el conjunto B aún actuando sobre la
estructura, el trabajo externo será:

El trabajo total realizado al aplicar esta secuencia de cargas estárepresentado por la
expresión:

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El trabajo total realizado en las dos secuencias de carga es el mismo por lo que se pueden
igualar las ecuaciones 1.8 y 1.9 y se obtiene:

Carlos AlbertoBermúdezMejía

La ecuación 1.10 es la expresión matemática del teorema de Betti. Significa que en una
,
estructura linealmente elástica el trabajo realizado por un conjunto de cargas externas
actuando através de los desplazamientos debidos a un conjunto de fuerzas externas
, es
, actuando a través de los desplazamientos
igual al trabajo realizado por las fuerzas
debidos al conjunto de fuerzas
.
Elteorema reciproco de Maxwell puede desarrollarse al aplicar el teorema de Betti a un
tipo particular de carga. Así, si consideramos que las cargas del conjunto A consisten en
una carga unitaria...