Teorema de altura y catetos

Teorema de la Altura
El teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:
(Forma 1)
En cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la media proporcionalentre las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.
Demostración

La altura del triángulo rectángulo ABC lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma queMultiplicando los dos miembros de la igualdad por hn se tiene:

Por lo que

Otra forma del mismo teorema
La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo también puede obtenersereemplazando a los valores m y n de la ecuación del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.



Lo que al simplificar en el último término de laecuación la raíz con los cuadrados nos conduce a:

(Forma 2)
Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la hipotenusa.
La ecuación nos permiteestablecer el enunciado (forma 2) del teorema:
En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de sus catetos b y c divididos por la hipotenusa a.



Teorema delcateto
El teorema del cateto establece lo siguiente:
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.Este teorema podemos expresarlo de forma matemática (para cada uno de sus dos catetos) como:


Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.Demostración

Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de loscatetos b y a sobre la hipotenusa.
Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:
1. Todos tienen un ángulo recto.
2. Los ángulos B y ACH son...