Teorema de bayes

Teorema (Bayes)
Sea [pic]un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos. Sea [pic]un suceso del que conocemos todas las cantidades [pic], [pic], a las que denominamos verosimilitudes. Entonces severifica:
[pic]

Demostración
Es una consecuencia de la definición de probabilidad condicionada en términos de la intersección, y del teorema de la probabilidad total:
[pic]

Ejemplo
Se tienentres urnas. Cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancas y rojas:
• Primera urna, U1: 3 bolas blancas y 2 rojas;
• Segunda urna, U2: 4 bolas blancas y 2 rojas;
•Tercera urna, U3: 3 bolas rojas.
Se realiza el siguiente experimento aleatorio:
Alguien elije al azar y con la misma probabilidad una de las tres urnas, y saca una bola.
Si el resultado del experimentoes que ha salido una bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la primera urna? Calcular lo mismo para las otras dos urnas.
Solución:
Vamos a representar en un esquema los datos deque disponemos:

|[pic] |
|[pic] |
|U1 |
|  |
|[pic] |
|[pic] |

        |[pic] |
|[pic] |
|U2 |
|  |
|[pic] |
|[pic] |

        
|[pic] ||[pic] |
|U3 |
|  |
|[pic] |
|[pic] |

En este caso U1, U2 y U3 forman un sistema incompatible y excluyente desucesos (la bola resultado debe provenir de una de esas tres urnas y de una sólo de ellas), por tanto es posible aplicar el teorema de Bayes:
[pic]

Con respecto a las demás urnas hacemos lomismo:
[pic]

[pic]

Teorema (Probabilidad total)
Sea [pic]un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos. Entonces
[pic]

Demostración
Obsérvese la Figura 4.6. De ahí realizamos las siguientes...