teorema de bayes

TEOREMA DE BAYES


 Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente De Moivre fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres.

Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y muere en 1761. Sus restos descansan en el cementerio londinense de Bunhill Fields. La traducción de la inscripción en su tumba esReverendo Thomas Bayes.
Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes.
7 de abril de 1761. En reconocimiento al importante trabajo que realizó Thomas Bayes en probabilidad.

Su tumba fue restaurada en 1969 con donativos de estadísticos de todo el mundo.

Miembro de la Royal Society desde 1742, Bayes fue uno de los primeros en utilizar la probabilidad inductivamente y establecer una basematemática para la inferencia probabilística.
Publicó los trabajos:

Divine Providence and Government Is the Happiness of His Creatures (1731)
An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and a Defence of The Analyst (1736)
En 1763, dos años después de su muerte, se publica :Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances, en el que trataba el problema de las causas a través de losefectos observados, y donde se enuncia el teorema que lleva su nombre. El trabajo fue entregado a la Royal Society por Richard Price y es la base de la técnica bayesiana.





Desarrollo del Teorema


Sea S un espacio muestral que está formado por los eventos A1, A2, A3,.....,An mutuamente excluyentes, luego,
S= A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn
 
 
 
 
 
Luego si ocurre un evento B definido enS, observamos que;
B=SÇB=(A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn)ÇB
B=(A1ÇB)È(A2ÇB)È(A3ÇB)È.....È(AnÇB)
Donde cada uno de los eventos AiÇB son eventos mutuamente excluyentes, por lo que
P(B) = p(A1ÇB) + p(A2ÇB) + p(A3ÇB) +......+ p(AnÇB)
y como la
P(AiÇB) = p(Ai)p(B½Ai)
Es decir que la probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de lamultiplicación para probabilidad condicional, luego;
P(B)=P(A1)P(B½A1)+P(A2)P(B½A2)+P(A3)P(B½A3)+P(An)p(B½An)
Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento Ai dado que B ya ocurrió, entonces;

La expresión anterior es el teorema de Bayes, que como se observa es una simple probabilidad condicional.
Ejemplos:

Un problema que nos sirve de introducción
En undistrito universitario los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el 20% estudian arquitectura, el 35% medicina y el 45% economía. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5%, 12% y del 18%. Elegido un alumno al azar determinar la probabilidad de que haya acabado los estudios.
Como Sea T el suceso "finalizar losestudios".
Como
E = A1 o A2 o A3
T = (T y E) = T y (A1 o A2 o A3) =
= (T y A1) o (T y A2) o (T y A3)
resulta
p(T) = p(T y A1) + p(T y A2) + (T y A3)
y por tanto
p(T) =
= p(A1) × p(T/A1) +
+ p(A2) × p(T/A2) +
+ p(A3) × p(T/A3)
Vemos todo esto mediante un diagrama de flujo y calculamos la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya terminado los estudios.

Si A1, A2, y A3son, respectivamente, los sucesos "estudiar arquitectura", "estudiar medicina" y "estudiar economía" resulta
p(Ai) = 1
y los sucesos A1, A2, y A3 son incompatibles (no existen estudiantes que cursen dos carreras).
Además
E = A1 o A2 o A3
En estas condiciones podemos aplicar el razonamiento de la columna de la izquierda.


A partir del razonamiento anterior podemos enunciar elsiguiente teorema que es conocido como teorema de la probabilidad total
Si los sucesos A1, A2, A3 ... An son una partición () del espacio muestral E y T un suceso de S, entonces


Otro ejemplo y una pregunta
La fábrica de enlatados PI S.A. produce 5000 envases diarios. La máquina A produce 3000 de estos envases, de los que el 2% son defectuosos y la máquina B produce los 2000 restantes de los...