teorema de bayes


Instituto Tecnológico de la Laguna


Nombre del maestro(a): María de Jesús Serrano Salas

Nombre del alumno:

Número de Control:

Nombre de la materia: Probabilidad y Estadística

Investigación del Teorema de Bayes


Índice

1. Introducción
2. Teorema de Bayes
3. Fórmula de Bayes
4. Aplicaciones
5. Conclusión











Introducción

Todos usamos lasmatemáticas todos los días; Para predecir el tiempo, para saber la hora, para manejar el dinero. Las matemáticas son más que fórmulas o ecuaciones; Es la lógica, es la racionalidad, se trata de utilizar su mente para resolver los misterios más grandes que conocemos.
En un artículo de Steven Strogatz que publicó en el diario New York Times, se presenta el siguiente problema:
Se sabe el que 0,8 % delas mujeres adultas pueden tener cáncer de mamas. Si una mujer tiene cáncer de mamas, hay un 90 % de chances que tenga un mamograma2 positivo. Si una mujer no tiene cáncer de mamas, todavía existe un 7 % de probabilidades que tenga un mamo grama positivo. Si una mujer va al control anual y tiene su mamo grama positivo, ¿cuáles son las chances de que tenga cáncer de mamas?
El problema nos brindainformación suficiente para contestar la pregunta, sin embargo la misma no puede ser utilizada directamente, pues sabemos cuál es la probabilidad que una mujer con cáncer de mamas tenga un mamo grama positivo, y se nos pregunta, en cambio, cuál es la probabilidad que una mujer tenga cáncer de mamas con un mamo grama positivo. De alguna manera tenemos que dar vuelta los datos: si conocemosinformación sobre la ocurrencia de un evento A siempre que haya ocurrido un evento B, necesitamos saber si es posible inferir la ocurrencia del evento B siempre que haya ocurrido A. Este es el contenido del Teorema de Bayes.





Teorema de Bayes

En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de unevento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado quese tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
Sea  un conjunto de sucesos mutuamenteexcluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales. Entonces, la probabilidad  viene dada por la expresión:

Dónde:
 son las probabilidades a priori.
 es la probabilidad de  en la hipótesis.
 son las probabilidades a posteriori.






Fórmula de Bayes

Conbase en la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:



Probabilidad condicional: Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A yB. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego...