Teorema de Bayes

Probabilidad y Estadística
Vol2 – V 1.0 Transcripción by groklee

Clase 2
Probabilidades – Unidad 1 (Parte 2)

Probabilidad Condicional 3 Sucesos: Muchas veces se pueden resolver utilizandola fórmula de Laplace para las probabilidades simples (el cociente entre cantidad de casis favorables y la cantidad de casos posibles), pero a veces tenemos que adaptar esa fórmula y el resultado seconoce como la Fórmula de Bayes
Ej.: Tenemos 3 bolilleros y en cada uno de ellos bolillas azules y rojas. El experimento se realiza en dos etapas: 1) Se vuelcan todas las bolillas en un recipientecomún. 2) Se saca una bolilla cualquiera, se observa el color y es azul.


¿Cuál es la probabilidad de que provenga del segundo bolillero?
P(provenga de B2 sabiendo que es azul) = P(B2/A) = 10/30= 1/3
(Es un suceso aleatorio -> si -> conocido) Los casos posibles se han reducido de 55 a 30. Los casos favorables son 10, porque entre los dos tenía 10 bolillas.
P(B2/A) = [P(B2)*P(A/B2)] /[(Ʃ1->3)(P(Bi)*P(A/Bi))] =
= [(21/55)*(10/21)] / [(21/55)*(16/21)+ (21/55)*(10/21)+ (21/55)*(9/13)] = 10/(16+10+4) = 10/30
Teorema de Bayes: se tiene un conjunto de causas {Bi} que en este caso son los3 bolilleros vinculados con la presentación de un suceso aleatorio A, en este caso aparición del color azul. Se conoce el resultado del suceso (se sabe que la bolilla es azul). Si las causas sonmutuamente excluyentes la probabilidad que tiene cada bolilla de ser causa de haber desencadenado la presentación del suceso aleatorio puede calcularse a través de esta fórmula:
[ P(Bi/A) = [P(Bi) *P(A/Bi)] / [ (Ʃ1->n) (P(Bi) * P(A/Bi)) ] ]
Para demostrarlo partimos de la fórmula de las probabilidades multiplicativas (intersección)
[P(A∩B) = P(A)*(Bi/A)] [P(A∩B) = P(B)*(A/Bi)] (el resultadoes indistinto de cual es fijo y cual condicional)
P(A)*P(Bi/A) = P(Bi)*P(A/Bi) (se iguala respecto a los primeros miembros, que son iguales)
P(Bi/A) = [P(Bi)*P(A/Bi)] / P(A)
Siguiendo el ejemplo...