Teorema De Bayes
Páginas: 5 (1173 palabras)
Publicado: 27 de octubre de 2012
INSTITUTO TECNOLOGICO DE PUEBLA
INGENIERÍA INDUSTRIAL
MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
ALUMNO: JOANN MONTERO SALDIVAR
TRABAJO: TEOREMA DE BAYES
FECHA DE ENTREGA: 15 DE OCTUBRE DE 2012
OBJETIVO.
Conocer la estructura que permite el cálculo de las probabilidades aplicando la fórmula del autor.
Ver el Teorema de Bayes encontexto, y que pueden servir como actividades motivadoras para introducir en el aula de clases.
Introducción.
El origen del Teorema de Bayes viene de Thomas Bayes (1702-1761).
Bayes, de origen inglés, fue ministro presbiteriano y un matemático competente. Consideró la forma en que podría probar la existencia de Dios examinando toda evidencia que el mundo aportaba acerca de él.
En un intentopor mostrar “que el fin principal de la Divina Providencia... es la felicidad de sus criaturas”, el reverendo Bayes utilizó las matemáticas para estudiar a Dios. Desafortunadamente, las implicaciones teológicas de sus hallazgos alarmaron tanto al buen reverendo Bayes que durante su vida se rehusó a permitir la publicación de su trabajo. Sin embargo, su obra trascendió y la teoría de decisionesmoderna a menudo se conoce en su honor como teoría de decisiones bayesiana.
La inferencia bayesiana es un tipo de inferencia estadística en la que las evidencias u observaciones se emplean para actualizar o inferir la probabilidad de que una hipótesis pueda ser cierta. El nombre bayesiano proviene de uso frecuente que se hace del teorema de Bayes durante el proceso de inferencia.
El teorema deBayes ofrece un potente método estadístico para evaluar nueva información y revisar nuestras anteriores estimaciones (basadas sólo en información limitada) de la probabilidad de que las cosas se encuentren en un estado o en otro.
DESARROLLO.
El teorema de Bayes corresponde a la siguiente situación, en el contexto en el que nosotros lo vamos a aplicar:
Un experimento serealiza en dos etapas:
- En la primera pueden darse n sucesos A1, A2, . . ., An, mutuamente excluyentes, con probabilidades conocidas. (Vamos a llamarlos causas).
- En la segunda pueden darse los resultados B1, B2, . . ., Bm, (que denominaremos efectos) cuya ocurrencia depende de los resultados obtenidos en la primera etapa, y se conocen p(BI/AI) (es decir, la probabilidad de que se presenteel efecto BI cuando se ha dado la causa AI); entonces, al realizar el experimento se ha observado que el resultado final ha sido BI y se plantea cual es la probabilidad de que “la causante” haya sido la causa AI (es decir, cual es la probabilidad de AI).
Sean A1, A2, . . ., An, sucesos mutuamente excluyentes y de probabilidad no nula, tales que A1 ∪
A2 ∪ . . . ∪ An = Ω. Si B es un suceso en Ωde probabilidad no nula, entonces:
Obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:
[pic]
Donde:
P(Ai) son las probabilidades a priori.
P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis AI.
P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori.
Cuando se da el uso de más términos se utiliza la formula:
Las aplicaciones del teorema de Teorema de Bayesson infinitas, y no exentas de grandes polémicas. El problema radica es que al decir “B ha ocurrido” se puede pensar que es un hecho determinantico, y por lo tanto no tiene objeto calcular la probabilidad Pr(B), es decir si B ha ocurrido entonces Pr(B) = 1. No obstante, el problema cambia radicalmente si uno expresa “si B ocurre”, y esta es la interpretación correcta. Por otro lado, lasprobabilidades asociadas a los eventos Ai son de tipo a priori, y que a veces de manera arbitraria deben asignarse puesto que no se tiene información sobre el “pasado”, y que se espera que van a ser “mejoradas” con la información que puede entregar el suceso B, de hecho las probabilidades Pr(Ai / B) son llamadas a posteriori.
La demostración de este resultado es muy sencilla y se basa en la definición...
INGENIERÍA INDUSTRIAL
MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
ALUMNO: JOANN MONTERO SALDIVAR
TRABAJO: TEOREMA DE BAYES
FECHA DE ENTREGA: 15 DE OCTUBRE DE 2012
OBJETIVO.
Conocer la estructura que permite el cálculo de las probabilidades aplicando la fórmula del autor.
Ver el Teorema de Bayes encontexto, y que pueden servir como actividades motivadoras para introducir en el aula de clases.
Introducción.
El origen del Teorema de Bayes viene de Thomas Bayes (1702-1761).
Bayes, de origen inglés, fue ministro presbiteriano y un matemático competente. Consideró la forma en que podría probar la existencia de Dios examinando toda evidencia que el mundo aportaba acerca de él.
En un intentopor mostrar “que el fin principal de la Divina Providencia... es la felicidad de sus criaturas”, el reverendo Bayes utilizó las matemáticas para estudiar a Dios. Desafortunadamente, las implicaciones teológicas de sus hallazgos alarmaron tanto al buen reverendo Bayes que durante su vida se rehusó a permitir la publicación de su trabajo. Sin embargo, su obra trascendió y la teoría de decisionesmoderna a menudo se conoce en su honor como teoría de decisiones bayesiana.
La inferencia bayesiana es un tipo de inferencia estadística en la que las evidencias u observaciones se emplean para actualizar o inferir la probabilidad de que una hipótesis pueda ser cierta. El nombre bayesiano proviene de uso frecuente que se hace del teorema de Bayes durante el proceso de inferencia.
El teorema deBayes ofrece un potente método estadístico para evaluar nueva información y revisar nuestras anteriores estimaciones (basadas sólo en información limitada) de la probabilidad de que las cosas se encuentren en un estado o en otro.
DESARROLLO.
El teorema de Bayes corresponde a la siguiente situación, en el contexto en el que nosotros lo vamos a aplicar:
Un experimento serealiza en dos etapas:
- En la primera pueden darse n sucesos A1, A2, . . ., An, mutuamente excluyentes, con probabilidades conocidas. (Vamos a llamarlos causas).
- En la segunda pueden darse los resultados B1, B2, . . ., Bm, (que denominaremos efectos) cuya ocurrencia depende de los resultados obtenidos en la primera etapa, y se conocen p(BI/AI) (es decir, la probabilidad de que se presenteel efecto BI cuando se ha dado la causa AI); entonces, al realizar el experimento se ha observado que el resultado final ha sido BI y se plantea cual es la probabilidad de que “la causante” haya sido la causa AI (es decir, cual es la probabilidad de AI).
Sean A1, A2, . . ., An, sucesos mutuamente excluyentes y de probabilidad no nula, tales que A1 ∪
A2 ∪ . . . ∪ An = Ω. Si B es un suceso en Ωde probabilidad no nula, entonces:
Obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:
[pic]
Donde:
P(Ai) son las probabilidades a priori.
P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis AI.
P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori.
Cuando se da el uso de más términos se utiliza la formula:
Las aplicaciones del teorema de Teorema de Bayesson infinitas, y no exentas de grandes polémicas. El problema radica es que al decir “B ha ocurrido” se puede pensar que es un hecho determinantico, y por lo tanto no tiene objeto calcular la probabilidad Pr(B), es decir si B ha ocurrido entonces Pr(B) = 1. No obstante, el problema cambia radicalmente si uno expresa “si B ocurre”, y esta es la interpretación correcta. Por otro lado, lasprobabilidades asociadas a los eventos Ai son de tipo a priori, y que a veces de manera arbitraria deben asignarse puesto que no se tiene información sobre el “pasado”, y que se espera que van a ser “mejoradas” con la información que puede entregar el suceso B, de hecho las probabilidades Pr(Ai / B) son llamadas a posteriori.
La demostración de este resultado es muy sencilla y se basa en la definición...
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