Teorema De Bayes

TEOREMA DE BAYES
ESTADISTICA

24/06/2012




























Universidad Tecnológica de Panamá



Facultad de Ingeniería Industrial



Licenciatura en Ingeniería Industrial



Estadística I


Profesora: Icenit Santamaría R.


Salón: 1II132 Grupo #2Fecha de entrega: 24 de junio de 2012.




Introducción
La probabilidad condicional toma en cuenta información respecto a la ocurrencia de un evento para encontrar la probabilidad de otro evento. Este concepto puede ampliarse para revisar probabilidades basadas en nueva información y, así, determinar la probabilidad que un efecto particular se deba a una causa específica. Elprocedimiento para revisar estas probabilidades se conoce como teorema de Bayes.
En el año 1763, dos años después de la muere de Thomas Bayes (1702-1761) se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.
En los problemasrelacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, construyamos una tabla de contingencia o un diagrama de árbol que serían muy útiles en la resolución del problema.

Índice



Teorema de Bayes
En el siglo XVIII, el reverendo Thomas Bayes, unministro presbiteriano inglés, planteó esta pregunta: ¿Dios realmente existe? Dado su interés en las matemáticas, intentó crear una fórmula para llegar a la probabilidad de que Dios existiera sobre la base de la evidencia de que disponía en la Tierra. Más tarde, Pierre-Simon Laplace perfeccionó el trabajo de Bayes y le dio el nombre de teorema de Bayes. De una forma entendible, el teorema de Bayes esel siguiente:
TEOREMA DE BAYES PA1B=PA1P(B|A1)PA1PBA1+PA2P(B|A2)

Si en la fórmula del teorema de Bayes, los A1 + A2 son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, y A¡ se refiere al evento A1 o a A2. De ahí que en caso A1 y A2 sea complementos. El significado de los símbolos utilizados se ilustra en el siguiente ejemplo.
Suponga que 5% de lapoblación de Umen, un país ficticio del tercer mundo, tiene una enfermedad propia del país. Sea A1 el evento “padece la enfermedad” y A2 el evento “no padece la enfermedad”. Por tanto, si selecciona al azar a una persona de Umen, la probabilidad de que el individuo elegido padezca la enfermedad es de 0.05 o P(A1)=0.05. Esta probabilidad, P(A1)=P (padece la enfermedad) =0.05, recibe el nombre deprobabilidad a priori. Se le da ese nombre, porque la probabilidad se asigna antes de obtener los datos empíricos.
PROBABILIDAD A PRIORI Probabilidad basada en el nivel de información actual.

Por ende, la probabilidad a priori de que una persona no padezca la enfermedad es de 0.95, o P(A2)=0.95, que se calcula restando 1-0.05.
Existe una técnica de diagnóstico para detectar unaenfermedad, pero no es muy precisa. Sea B el evento “la prueba revela la presencia de la enfermedad”. Suponga que la evidencia histórica muestra que si una persona padece realmente la enfermedad, la probabilidad de que la prueba indique la presencia de ésta es de 0.90. De acuerdo con las definiciones de probabilidad condicional establecidas, dicho enunciado se expresa de la siguiente manera:
PBA1=0.90
Sila probabilidad de que la prueba indique la presencia de la enfermedad en una persona que en realidad no la padece es de 0.15.
PBA2=0.15
Elija al azar a una persona de Umen y aplique la prueba. Los resultados de la prueba indican que la enfermedad está presente. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona en realidad padezca la enfermedad? Lo que desea saber, en forma simbólica, es P(A1|B),...