Teorema De Bayes


ESTADÍSTICA 2









TEOREMA DE BAYES
La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el cálculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento. El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai. A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona ciertainformación, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.

Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.
Es decir la probabilidad condicional de Ai dado B, para cualquier i, es:



Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(AiÇB) =P(Ai) P(B|Ai) y en el denominador el Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An), obtenemos la ecuación que representa al:



Información obtenida de: http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/Probabilidad/doc/Unidad%201/1.3.5.htm

Ejemplo 1.- El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin desemana:
A) Que llueva: probabilidad del 50%. B) Que nieve: probabilidad del 30%. C) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:
A) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%. B) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%. C) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta queefectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos qué tiempo hizo (nevó, llovía o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).
Una vez que incorporamos la información de queha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

Vamos a aplicar la fórmula:



A) Probabilidad de que estuviera lloviendo:



La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

B) Probabilidad de que estuviera nevando:La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.


C) Probabilidad de que hubiera niebla:



La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.
Esta información la obtuve de la página: http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-25-est.htm


Ejemplo 2.- Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A, B y C. La máquina A producetabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.
 
Solución:
 
Definamos el evento D como sea unartículo defectuoso. De acuerdo a esto tenemos que:
 
P(A) = 0.5       P(D | A) = 0.03
P(B) = 0.3       P(D | B) = 0.04
P(C) = 0.2       P(D | C) = 0.05
 
Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición estacaracterística. Por lo tanto:

 


 



Esta información la obtuve de la página http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/Probabilidad/doc/Unidad%201/1.3.5.htm


Probabilidad condicional

La probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que ya ocurrió un evento A se llama probabilidad condicional y se denota por P (B/A) que por lo general se lee como probabilidad de...