Teorema De Bayes

La empresa Goferbroke es dueña de unos terrenos donde puede haber petróleo, un geólogo considera que hay una posibilidad de 0.38 % de encontrar petróleo.
Una petrolera ofrece $383,685 por los terrenos, se la empresa considera perforar por su cuenta le costará $865,566.
Si encuentra petróleo el ingreso esperado es de $3´853,536, así la ganancia expresada es de ($3´853,536- $865,566)=$2´987,970.Pero si no encuentra petróleo se perderá $365,566.
ALTERNATIVA | ESTADOS DE LA NATURALEZA |
| PETRÓLEO | SECO |
Perforar | $2´987,970 | $-865,566 |
Vender | $383,685 | $383,685 |
Probabilidad | 0,38 | 0,62 |

1.3.3.1 Criterio del pago máximo.
* Para cada alternativa posible encuentre el pago mínimo sobre todo los estados de la naturaleza
* Prefiera el máximo de dichosmínimos (criterio maximin).
  | θ1 | θ2 | Mínimo |
a1 | 2´987,970 | -865,566 | -365,566 |
a2 | 383,685 | 383,685 | 383,685 |
Probabilidad | 0,38 | 0,62 | |
Elegimos a2 aunque el criterio es muy conservador.
Identificando el estado de naturaleza más posible.
* Es decir a que con la mayor probabilidad a priori.
* Encuentre la alternativa con el mayor pago en dicho estado de lanaturaleza.
  | θ1 | θ2 |
a1 | 2´987,970 | -865,566 |
a2 | 383,685 | 383,685 |
Probabilidad | 0,38 | 0,62 |

Mayor pago
Estado de la naturaleza mas probable.

Con lo visto en la tabla anterior se elige vender el terreno.
1.3.4 Regla de decisión de Bayes (Valor Monetario Esperado (VME)).
* Regla de decisión de Bayes: Usando las mejores estimaciones de las probabilidades de los respectivosestados de la naturaleza, calcule el valor esperado para cada alternativa posible, prefiera la alternativa con mayor PE.
PEPerforar=0.38*2´987,970+0.62*-865,566=598,777.68
PEVender=0.38*383,685+0.62*383,685=383,686.52
Puesto que $598,777>$383,686 la regla de Bayes indica que debe elegirse la iteración a1 (perforar).
1.3.5 Análisis de sensibilidad.
Suponiendo que la administración de laempresa Goferbroke se estima que la probabilidad ideal de encontrar petróleo en el área debe estar entre 35% y 58%; es decir, es posible que la probabilidad a priori verdadera de encontrar petróleo esté entre 0.35 y 0.58, de manera que encontrar que el terreno esté seco tendrá una probabilidad a priori entre: 1 – 0.35 = 0.65 y 1 – 0.58 = 0.42.

Sabemos que el análisis de sensibilidad aplica elteorema de Bayes dos veces:
* Cuando P(petróleo) está en el límite inferior: 0.35
* Cuando P(petróleo) está en el límite superior: 0.58

Por lo tanto el pago esperado para cada caso es:
1. PE(perforar): (2´987,970)(0.35)+ (-46,286)(0.65)= $1´0.15,703.6 MAYOR
PE(vender): (383,685)(0.35)+ (383,685)(0.65)= $383, 685

2. PE(perforar): (2´987,970)(0.58)+ (-46,286)(0.42)=$1´713,582.48 MAYOR
PE(vender): (383,685)(0.58)+ (383,685)(0.42)= $383, 685

De los resultados anteriores tenemos:
P (petróleo)= 0.35 la decisión es perforar el terreno
P (petróleo)= 0.58 la decisión es perforar el terreno
De lo anterior concluimos que es poco sensible.
El análisis de sensibilidad revela que es importante hacer algo más, si es posible, para determinar cuál es elvalor verdadero de la probabilidad de encontrar petróleo.
Sea: p = probabilidad a priori de encontrar petróleo
* PE(perforar)= 2´987,970p+ (-865,566)(1-p)= 2´987,970p-865,566
si p=0 ; PE= -865,566
si P=1 ; PE= 2´122,404

* PE(vender)= 383,689p+ (383,689)(1-p)= 383,689 (constante)

Punto de cruce: punto a partir delcual la alternativa elegida cambia de vender terreno o perforar terreno por su cuenta.

Para obtener punto de cruce: 2´987,970p-865,566=383,689 ; p=0.4181

Conclusión: se debe vender el terreno cuando p < 0.4181y se debe perforar cuando p > 0.4181
Debe notarse que la línea que esté en la parte superior de la gráfica indicará la alternativa que debe elegirse.
1.3.6 Toma de...