Teorema De Bayes

Tema 1: Introducción a la Estadística
Bayesiana
Introducción
El análisis estadístico consiste en separar los efectos sistemáticos del ruido inherente a
cualquier tipo de medición. Una de las maneras de plantear dicho esquema es mediante una
metodología bayesiana, que consta de tres pasos fundamentales:
1. Especificar un modelo de probabilidad que incluya algún tipo de conocimiento previo
(apriori ) sobre los parámetros del modelo dado.
2. Actualizar el conocimiento sobre los parámetros desconocidos condicionando este modelo de probabilidad a los datos observados.
3. Evaluar el ajuste del modelo a los datos y la sensibilidad de las conclusiones a cambios
en los supuestos del modelo.
La diferencia fundamental entre la estadística clásica (frecuentista) y la bayesiana es elconcepto de probabilidad. Para la estadística clásica es un concepto objetivo, que se encuentra
en la naturaleza, mientras que para la estadística bayesiana se encuentra en el observador,
siendo así un concepto subjetivo. De este modo, en estadística clásica sólo se toma como
fuente de información las muestras obtenidas suponiendo, para los desarrollos matemáticos,
que se puede tomar tamaños límitede las mismas. En el caso bayesiano, sin embargo, además
de la muestra también juega un papel fundamental la información previa o la historia que
se posee relativa a los fenómenos que se tratan de modelizar.
El concepto básico en estadística bayesiana es el de probabilidad condicional :
Para dos sucesos A y B ,
P (A|B ) =

P (A ∩ B )
P (B )

1

Se puede aplicar la definición también avariables discretas o continuas.
Desde el punto de vista de los bayesianos, casi todas las probabilidades son condicionales
porque siempre existe algún conocimiento previo o historia de los sucesos.
Un concepto importante es el expresado por la ley de la probabilidad total:
Para un suceso A y una partición B1 , . . . , Bk ,
k

P (A) =

P (A|Bi )P (Bi )
i=1

Se puede aplicar el teoremaa variables discretas:
f (x ) =

f (x|Y = y )P (Y = y )
y

o a variables continuas:
f (x) =
E

f (x|y )f (y ) dy.

:
En una fábrica se embalan (en cajas) galletas en 4 cadenas de montaje; A1 , A2 , A3 y

A4 . El 35 % de la producción total se embala en la cadena A1 y el 20 %, 24 % y 21 % en A2 ,
A3 y A4 respectivamente. Los datos indican que no se embalan correctamente unporcentaje
pequeño de las cajas; el 1 % de A1 , el 3 % de A2 , el 2.5 % de A3 y el 2 % de A4 . ¿Cuál es la
probabilidad de que una caja elegida al azar de la producción total sea defectuosa?
Defino D = defectuosa. Luego,
4

P (D ) =

P (D|Ai )P (Ai )
i=1

= 0,01 × 0,35 + 0,03 × 0,20 + 0,025 × 0,24 +
+0,02 × 0,21
= 0,0197
E

:
Supongamos que Y ∼ Exp(β ), una distribución exponencial
f (y )= β exp(−βy )

para y > 0, de modo que X |Y ∼ Pois(Y ), una distribución Poisson,
P (x|y ) =
2

y x −y
e
x!

para x = 0, 1, 2, · · ·
Entonces, la distribución marginal de X es

∞

P (x|y )f (y ) dy

P (x ) =
−∞
∞

=
0

β
=
x!
β
=
x!

y x −y
e β exp(−βy ) dy
x!
∞

y x exp(−(β + 1)y ) dy
0
∞

y (x+1)−1 exp(−(β + 1)y ) dy
0

Para resolver la integral, seobserva que el integrando está relacionado con una distribución
gamma Ga(x + 1, β + 1) :
NOTA:
Si X ∼ Ga(a, b) su función de densidad es
f (x; a, b) =

ba a−1
x exp[−bx],
Γ(a)

de este modo
∞
0

ba a−1
x exp[−bx]dx = 1 =⇒
Γ(a)

∞

xa−1 exp[−bx]dx =
0

Luego
β Γ(x + 1)
x! (β + 1)(x+1)
β
x!
=
x! (β + 1)(x+1)
β
=
(β + 1)(x+1)

P (x ) =

Otra manera de hacerlo seríausando Maxima:
integrate((y^x)*exp(-(b+1)*y), y, 0, inf);
Is

x+1

positive, negative, or zero? positive;

Is

b+1

positive, negative, or zero? positive;
3

Γ(a)
ba

Is

x

"Is

an integer? no;

"x-1"

positive, negative, or zero?" negative;

(b+1)^(-x-1)*gamma(x+1)

Se denota como p = β/(1 + β ), luego 0 < p < 1 y despejando β =
p
1−p
= p(1 − p)x ,

P (x)...